El paralelogramo $ABCD$ tiene $AB=a,AD=1,$ $\angle BAD=A$ , y el triángulo $ABD$ tiene todos los ángulos agudos. Demostrar que los círculos de radio $1$ y centro $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y solo si \[a\le\cos A+\sqrt3\sin A.\]

Encontrar todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones: $\sum^n_{k=1} x^i_k = a^i$ para $i = 1,2, \ldots, n.$

Resolver el sistema de ecuaciones: $\n\begin{matrix}\n|x+y| + |1-x| = 6 \\\n|x+y+1| + |1-y| = 4.\n\end{matrix}\n$

Resolver el sistema de ecuaciones: $ \n\begin{matrix} \nx^2 + x - 1 = y \\ y^2 + y - 1 = z \\ z^2 + z - 1 = x.\n\end{matrix}\n$

Suponga que las medianas $m_a$ y $m_b$ de un triángulo son ortogonales. Demostrar que:\n(a) Las medianas del triángulo corresponden a los lados de un triángulo rectángulo.\n(b) Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados del triángulo, entonces, se cumple la siguiente desigualdad: \[5(a^2+b^2-c^2)\geq 8ab\]

Demostrar la desigualdad trigonométrica $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16},$ cuando $x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right).$

Demostrar que \[\frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}},\] y sea $n \geq 1$ un entero. Demostrar que esta desigualdad solo es posible en el caso $n = 1.$

Demostrar que todos los números de la secuencia \[ \frac{107811}{3}, \quad \frac{110778111}{3}, \frac{111077781111}{3}, \quad \ldots \] son cubos exactos.

Llamamos a un conjunto de enteros positivos 'adecuado' si ninguno de sus elementos es coprimo con la suma de todos los elementos de ese conjunto. Dado un número real $\varepsilon \in (0,1)$, demuestre que, para todos los enteros positivos $N$ suficientemente grandes, existe un conjunto adecuado de tamaño al menos $\varepsilon N$, cada elemento del cual es como máximo $N$.

Dado un entero positivo $N$, determine todos los enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: para cualquier lista $d_1,d_2,\ldots,d_k$ de divisores de $n$ (no necesariamente distintos) tal que $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \ldots + \frac{1}{d_k} > N$, algunas de las fracciones $\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \ldots, \frac{1}{d_k}$ suman exactamente $N$.