Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro, respectivamente, y sean $S$ y $T$ los pies de las alturas desde $B$ a $AC$ y desde $C$ a $AB$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $ST$, y sea $N$ el punto medio del segmento $AH$. La recta que pasa por $O$, paralela a $BC$, cruza los lados $AC$ y $AB$ en $F$ y $G$, respectivamente. La recta $NG$ se encuentra con el círculo $BGO$ nuevamente en $K$, y la recta $NF$ se encuentra con el círculo $CFO$ nuevamente en $L$. Demuestre que los triángulos $BCM$ y $KLN$ son similares.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ con $\angle BAC > 90^{\circ}$ y $AB > AC$. Las tangentes de $\Omega$ en $B$ y $C$ se cruzan en $D$ y la tangente de $\Omega$ en $A$ cruza la recta $BC$ en $E$. La recta que pasa por $D$, paralela a $AE$, cruza la recta $BC$ en $F$. El círculo con diámetro $EF$ se encuentra con la recta $AB$ en $P$ y $Q$ y la recta $AC$ en $X$ y $Y$. Demuestre que uno de los ángulos $\angle AEB$, $\angle PEQ$, $\angle XEY$ es igual a la suma de los otros dos.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta que pasa por $I$, perpendicular a $AI$, interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Resulta que existe un punto $T$ en el lado $BC$ tal que $AB + BT = AC + CT$ y $AT^2 = AB \cdot AC$. Determine todos los valores posibles de la razón $IP/IQ$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea a través de $C$ cruza el lado $AB$ en un punto interior $X$, y la línea $AD$ en $Y$. Las tangentes del círculo $AXY$ en $X$ e $Y$, respectivamente, se cruzan en $T$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que está en la línea $AT$ y el otro que está en la línea $CT$.

Fijar un entero positivo $n$ y un grafo finito con al menos una arista; los extremos de cada arista son distintos, y cualesquiera dos vértices están unidos por a lo más una arista. Vértices y aristas son asignados (no necesariamente distintos) números en el rango desde $0$ hasta $n-1$, un número cada uno. Una asignación de vértices y una asignación de aristas son compatibles si la siguiente condición se satisface en cada vértice $v$: El número asignado a $v$ es congruente módulo $n$ a la suma de los números asignados a las aristas incidentes a $v$. Fijar una asignación de vértices y sea $N$ el número total de asignaciones de aristas compatibles; la compatibilidad se refiere, por supuesto, a la asignación de vértices fija. Demostrar que, si $N \neq 0$, entonces los divisores primos de $N$ son todos a lo más $n$.

Determinar el entero más grande $n\geq 3$ para el cual las aristas del grafo completo en $n$ vértices pueden ser asignadas con enteros no negativos, distintos por pares, tal que las aristas de cada triángulo tengan números que forman una progresión aritmética.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función no decreciente tal que $f(y) - f(x) < y - x$ para todos los números reales $x$ e $y > x$ . La secuencia $u_1,u_2,\ldots$ de números reales es tal que $u_{n+2} = f(u_{n+1}) - f(u_n)$ para todo $n\geq 1$ . Demuestre que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un entero positivo $N$ tal que $|u_n| < \varepsilon$ para todo $n\geq N$ .

Una baldosa $T$ es la unión de finitamente muchos arcos disjuntos dos a dos de un círculo unitario $K$ . El tamaño de $T$ , denotado por $|T|$ , es la suma de las longitudes de los arcos que componen $T$ , dividido por $2\pi$ . Una copia de $T$ es una baldosa $T'$ obtenida al rotar $T$ alrededor del centro de $K$ a través de algún ángulo. Dado un número real positivo $\varepsilon < 1$ , ¿existe una secuencia infinita de baldosas $T_1,T_2,\ldots,T_n,\ldots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones simultáneamente: 1) $|T_n| > 1 - \varepsilon$ para todo $n$ ; 2) La unión de todas las $T_n'$ (cuando $n$ recorre los enteros positivos) es un subconjunto propio de $K$ para cualquier elección de las copias $T_1'$ , $T_2'$ , $\ldots$ , $T_n', \ldots$ ?

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ enteros que satisfacen la siguiente condición: los números $x_1,\ldots,x_n$ son distintos dos a dos y para cada entero positivo $m$ existe un polinomio $P_m$ con coeficientes enteros tal que $P_m(x_i) - y_i$ , $i=1,\ldots,n$ , son todos divisibles por $m$ . Demuestre que existe un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que $P(x_i) = y_i$ para todo $i=1,\ldots,n$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(xy+f(x)) + f(y) = xf(y) + f(x+y) ] para todos los números reales $x$ e $y$ .