Una secuencia infinita $x_1,x_2,\ldots$ de enteros positivos satisface \[ x_{n+2}=\gcd(x_{n+1},x_n)+2006 \] para cada entero positivo $n$ . ¿Existe tal secuencia que contenga exactamente $10^{2006}$ números distintos?

Un número finito dado de líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes, divide el plano en regiones finitas e infinitas. En cada región finita escribimos $1$ o $-1$ . En una operación, podemos elegir cualquier triángulo formado por tres de las líneas (que pueden ser cortadas por otras líneas en la colección) y multiplicar por $-1$ cada uno de los números en el triángulo. Determine si siempre es posible obtener $1$ en todas las regiones finitas aplicando sucesivamente esta operación, independientemente de la distribución inicial de $1$ s y $-1$ s .

El triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ tiene circuncírculo $\Gamma$ , circuncentro $O$ , y ortocentro $H$ . El punto medio de $BC$ es $M$ , y la extensión de la mediana $AM$ interseca a $\Gamma$ en $N$ . El círculo de diámetro $AM$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $A$ y $P$ . Demuestre que las líneas $AP$ , $BC$ , y $OH$ son concurrentes si y solo si $AH = HN$ .

Los números $1, 2,\ldots, 2006$ están escritos alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una secuencia de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ son particionados en $1003$ pares distintos, entonces demuestre que en al menos uno de los movimientos, los dos números de uno de los pares fueron intercambiados.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = AD$ y $CB = CD$ . La bisectriz de $\angle BDC$ interseca a $BC$ en $L$ , y $AL$ interseca a $BD$ en $M$ , y se sabe que $BL = BM$ . Determine el valor de $2\angle BAD + 3\angle BCD$ .

(a) Para cada entero $k\ge 3$ , encuentre un entero positivo $n$ que pueda ser representado como la suma de exactamente $k$ divisores positivos mutuamente distintos de $n$ . (b) Suponga que $n$ puede ser expresado como la suma de exactamente $k$ divisores positivos mutuamente distintos de $n$ para algún $k\ge 3$ . Sea $p$ el divisor primo más pequeño de $n$ . Demuestre que \[\frac1p+\frac1{p+1}+\cdots+\frac{1}{p+k-1}\ge1.\]

El punto $A_1$ en el perímetro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ es tal que la línea $AA_1$ divide el cuadrilátero en dos partes de igual área. Los puntos $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ se definen de forma similar. Demostrar que el área del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ es mayor que una cuarta parte del área de $ABCD$ .

Resolver la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos.

Trinomios cuadráticos con coeficientes principales positivos están dispuestos en los cuadrados de una tabla de $6 \times 6$. Sus $108$ coeficientes son todos enteros de $-60$ a $47$ (cada número se usa una vez). Demostrar que al menos en una columna la suma de todos los trinomios tiene una raíz real.

Cada cara de un cubo de $7 \times 7 \times 7$ está dividida en cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que se pueden elegir de modo que no haya dos cuadrados elegidos que tengan un punto en común?