Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que los vértices adyacentes tengan colores diferentes). Demostrar que $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas pueden ser eliminadas del grafo de modo que permanezca conexo.

Para cada número real positivo $a$ y $b$ demostrar la desigualdad \[\displaystyle \sqrt{ab} \leq \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{2}{3} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.\]

$ABCDEF$ es un hexágono convexo, tal que en él $AC \parallel DF$ , $BD \parallel AE$ y $CE \parallel BF$ . Demostrar que \[AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2.\]

Hay $100$ montones de piedras sobre una mesa. Dos jugadores hacen movimientos alternativamente. En cada movimiento, un jugador puede quitar cualquier número no nulo de piedras de la mesa, de modo que al menos un montón quede intacto. El jugador que no puede mover pierde. Determinar, para cada posición inicial, cuál de los jugadores, el primero o el segundo, tiene una estrategia ganadora.

Cartas numeradas del 1 al $2^n$ se distribuyen entre $k$ niños, $1\leq k\leq 2^n$ , de modo que cada niño recibe al menos una carta. Demostrar que el número de maneras de hacer eso es divisible por $2^{k-1}$ pero no por $2^k$ .

Los puntos $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ son los vértices de un tetraedro regular de longitud de arista $1$ . Los puntos $B_1$ y $B_2$ se encuentran dentro de la figura delimitada por el plano $A_1A_2A_3$ y las esferas de radio $1$ y centros $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ . Demostrar que $B_1B_2 < \max\{B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4\}$ .

Resolver la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos.

Demostrar que todo polinomio de cuarto grado puede ser representado en la forma $P(Q(x))+R(S(x))$ , donde $P,Q,R,S$ son trinomios cuadráticos.

Demostrar que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos y $xyz = 1$ entonces \[\frac{x^3}{x^2+y}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+x}\geq \dfrac {3} {2}.\]

Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que los vértices adyacentes tengan colores diferentes). Demostrar que $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas pueden ser eliminadas del grafo de modo que permanezca conexo.