Los puntos $X$ e $Y$ dentro del rombo $ABCD$ son tales que $Y$ está dentro del cuadrilátero convexo $BXDC$ y $2\angle XBY = 2\angle XDY = \angle ABC$ . Demostrar que las líneas $AX$ y $CY$ son paralelas.

Hay $100$ montones de piedras sobre una mesa. Dos jugadores hacen movimientos alternativamente. En cada movimiento, un jugador puede quitar cualquier número no nulo de piedras de la mesa, de modo que al menos un montón quede intacto. El jugador que no puede mover pierde. Determinar, para cada posición inicial, cuál de los jugadores, el primero o el segundo, tiene una estrategia ganadora.

Considerar una colección de piedras cuyo peso total es de $65$ libras y cada una de cuyas piedras pesa como máximo $w$ libras. Hallar el mayor número $w$ para el cual cualquier colección de piedras puede ser dividida en dos grupos cuyos pesos totales difieren en a lo sumo una libra. Nota: Los pesos de las piedras no son necesariamente enteros.

En el triángulo $ABC$, donde $AB<AC$, sean $X$, $Y$, $Z$ los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. En la circunferencia circunscrita de $ABC$, sea $U$ el punto medio del arco $BC$ que contiene al punto $A$. La línea $UX$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en el punto $K$. Sea $T$ el punto de intersección de $AK$ y $YZ$. Demostrar que $XT$ es perpendicular a $YZ$.

¿Se pueden particionar los enteros positivos en $12$ subconjuntos tales que para cada entero positivo $k$, los números $k, 2k,\ldots,12k$ pertenecen a diferentes subconjuntos?

Hallar todos los enteros $k\ge 2$ tales que para todo entero $n\ge 2$, $n$ no divide al mayor divisor impar de $k^n+1$.

En una línea, hay $n$ intervalos cerrados (ninguno de los cuales es un solo punto) cuya unión denotamos por $S$. Se sabe que para cada número real $d$, $0<d\le 1$, hay dos puntos en $S$ que están a una distancia $d$ uno del otro. (a) Mostrar que la suma de las longitudes de los $n$ intervalos cerrados es mayor que $\frac{1}{n}$. (b) Demostrar que, para cada entero positivo $n$, el $\frac{1}{n}$ en el enunciado de la parte (a) no puede ser reemplazado por un número mayor.

En cada casilla de un tablero de ajedrez con $a$ filas y $b$ columnas, se escribe un $0$ o un $1$ satisfaciendo las siguientes condiciones. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $0$, entonces esa fila y columna tienen el mismo número de $0$s. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $1$, entonces esa fila y columna tienen el mismo número de $1$s. Hallar todos los pares $(a,b)$ para los cuales esto es posible.

Demuestre que existe una $c$ positiva tal que para cada entero positivo $N$ entre cualquier $N$ enteros positivos que no excedan $2N$ hay dos números cuyo máximo común divisor es mayor que $cN$ .

Varios caballeros están dispuestos en un tablero de ajedrez infinito. Ningún cuadrado es atacado por más de un caballero (en particular, un cuadrado ocupado por un caballero puede ser atacado por un caballero pero no por dos). Sasha esbozó un rectángulo de $ 14\times 16$. ¿Qué número máximo de caballeros puede contener este rectángulo?