Se elige el punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . El punto $L$ dentro del triángulo $ABC$ es tal que $BD=LD$ y $ \angle LAB=\angle LCA=\angle DCB$ . Se sabe que $ \angle ALD+\angle ABC=180^\circ$ . Demuestre que $ \angle BLC=90^\circ$ .

¿Qué número mínimo de colores es suficiente para colorear todos los números reales positivos de modo que cada dos números cuya razón es 4 u 8 tengan colores diferentes?

Determine el máximo real $k$ tal que exista un conjunto $X$ y sus subconjuntos $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $ ...$ , $Y_{31}$ que satisfagan las siguientes condiciones: (1) para cada dos elementos de $X$ existe un índice $i$ tal que $Y_{i}$ no contiene ninguno de estos elementos; (2) si se asignan números no negativos $ \alpha_{i}$ a los subconjuntos $Y_{i}$ y $ \alpha_{1}+\dots+\alpha_{31}=1$ entonces existe un elemento $x\in X$ tal que la suma de $ \alpha_{i}$ correspondiente a todos los subconjuntos $Y_{i}$ que contienen $x$ es al menos $k$ .

$AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Un círculo que pasa por $A_{1}$ y $B_{1}$ toca el arco $AB$ de su circunferencia circunscrita en $C_{2}$ . Los puntos $A_{2}$ , $B_{2}$ se definen de manera similar. Demuestre que las líneas $AA_{2}$ , $BB_{2}$ , $CC_{2}$ son concurrentes.

Dos polinomios $f(x)=a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+\dots+a_{1}x+a_{0}$ y $g(x)=b_{100}x^{100}+b_{99}x^{99}+\dots+b_{1}x+b_{0}$ de grado $100$ difieren entre sí por una permutación de coeficientes. Se sabe que $a_{i}\ne b_{i}$ para $i=0, 1, 2, \dots, 100$. ¿Es posible que $f(x)\geq g(x)$ para toda $x$ real?

Se dan enteros positivos $a<b$. Demuestre que entre cada $b$ enteros positivos consecutivos hay dos números cuyo producto es divisible por $ab$.

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n \times n$ que contiene todos los enteros de $1$ a $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes se consideran adyacentes si comparten un lado común. Cada celda que es adyacente solo a celdas que contienen números más grandes se llama valle. Un camino cuesta arriba es una secuencia de una o más celdas tales que: (i) la primera celda en la secuencia es un valle, (ii) cada celda subsiguiente en la secuencia es adyacente a la celda anterior, y (iii) los números escritos en las celdas en la secuencia están en orden creciente. Encuentra, como una función de $n$, el número total más pequeño posible de caminos cuesta arriba en un cuadrado nórdico.

Encuentra todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$. Asuma que hay un punto $T$ dentro de $ABCDE$ con $TB=TD,TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. Sea la línea $AB$ interseca las líneas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Asuma que los puntos $P,B,A,Q$ ocurren en su línea en ese orden. Sea la línea $AE$ interseca $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Asuma que los puntos $R,E,A,S$ ocurren en su línea en ese orden. Demuestra que los puntos $P,S,Q,R$ se encuentran en un círculo.

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestra que hay a lo sumo una forma (salvo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor del círculo de tal manera que el producto de dos vecinos cualesquiera sea de la forma $x^2+x+k$ para algún entero positivo $x$.