Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}^+$, hay exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: aluminio (denotada A) y bronce (denotada B). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce dispuestas en una fila en algún orden inicial arbitrario. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo fijo $k \leq 2n$, Gilberty realiza repetidamente la siguiente operación: identifica la cadena más larga que contiene la $k^{th}$ moneda desde la izquierda y mueve todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza desde el ordenamiento $AABBBABA$ sería $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$ Encuentra todos los pares $(n,k)$ con $1 \leq k \leq 2n$ tales que para cada ordenamiento inicial, en algún momento durante el proceso, las $n$ monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.

Sea $p$ un número primo impar y $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Suponga que una función $f:\mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ satisface las siguientes propiedades: $f(1,1)=0$ . $f(a,b)+f(b,a)=1$ para cualquier par de enteros positivos relativamente primos $(a,b)$ no ambos iguales a 1; $f(a+b,b)=f(a,b)$ para cualquier par de enteros positivos relativamente primos $(a,b)$ . Demuestre que $$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \geqslant \sqrt{2p}-2.$

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$ . Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demuestre que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ en $S$ , tenemos: $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ o demuestra que no existe tal $n$ , con la siguiente propiedad: hay infinitas $n$ -tuplas distintas de números racionales positivos $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ tales que tanto $$a_1+a_2+\dots +a_n \quad \text{y} \quad \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ son enteros.

Encuentra todos los pares $(p,q)$ de números primos con $p>q$ tales que $$\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1}$$ es un entero.

Llamamos corto a un número racional si tiene un número finito de dígitos en su expansión decimal. Para un entero positivo $m$ , decimos que un entero positivo $t$ es $m-$tástico si existe un número $c\in \{1,2,3,\ldots ,2017\}$ tal que $\dfrac{10^t-1}{c\cdot m}$ es corto, y tal que $\dfrac{10^k-1}{c\cdot m}$ no es corto para ningún $1\le k<t$ . Sea $S(m)$ el conjunto de números $m-$tásticos. Considere $S(m)$ para $m=1,2,\ldots{}.$ ¿Cuál es el número máximo de elementos en $S(m)$ ?

Determinar todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, definimos $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ .

Sea $ABCC_1B_1A_1$ un hexágono convexo tal que $AB=BC$, y suponga que los segmentos de línea $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ tienen la misma bisectriz perpendicular. Sean las diagonales $AC_1$ y $A_1C$ se encuentran en $D$, y denotemos por $\omega$ el círculo $ABC$. Sea $\omega$ intersecta al círculo $A_1BC_1$ nuevamente en $E \neq B$. Demuestra que las líneas $BB_1$ y $DE$ se intersecan en $\omega$.

En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ interseca la línea $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestra que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.