Cinco jugadores $(A,B,C,D,E)$ participan en un torneo de bridge. Cada dos jugadores deben jugar (como compañeros) contra cada otros dos jugadores. Dos jugadores dados pueden ser compañeros no más de una vez al día. ¿Cuál es el menor número de días necesarios para este torneo?

Cada uno de 2009 puntos distintos en el plano está coloreado de azul o rojo, de modo que en cada círculo unitario centrado en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentra el mayor número posible de puntos azules.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar que $(x^2+y+1)(x^2+z+1)(y^2+x+1)(y^2+z+1)(z^2+x+1)(z^2+y+1)\geq (x+y+z)^6$

Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales tales que $ 0 < x,y,z < 1$ y $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ . Demuestre que al menos uno de los números $ (1 - x)y,(1 - y)z,(1 - z)x$ es mayor o igual a $ \frac {1}{4}$

Encuentre todos los valores del parámetro real $a$ , para los cuales el sistema $(|x| + |y| - 2)^2 = 1$ $y = ax + 5$ tiene exactamente tres soluciones

Encuentre el valor máximo de $z+x$ si $x,y,z$ satisfacen las condiciones dadas. $x^2+y^2=4$ $z^2+t^2=9$ $xt+yz\geq 6$

Determine todos los enteros $a, b, c$ que satisfacen las identidades: $a + b + c = 15$ $(a - 3)^3 + (b - 5)^3 + (c -7)^3 = 540$

El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\gamma$ de centro $O$ , con $AB < AC$ . Un punto $D$ en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ y un punto $E$ en el segmento $BC$ satisfacen que $OE$ es paralelo a $AD$ y $DE \perp BC$ . El punto $K$ se encuentra en la línea de extensión de $EB$ tal que $EA = EK$ . Un círculo que pasa por los puntos $A,K,D$ se encuentra con la línea de extensión de $BC$ en el punto $P$ , y se encuentra con el círculo de centro $O$ en el punto $Q\ne A$ . Demuestre que la línea $PQ$ es tangente al círculo $\gamma$ .

Sean $a, b, c, d$ cuatro números reales positivos. Demuestre que $$\frac{(a + b + c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(b + c + d)^3}{b^3+c^3+d^3}+\frac{(c+d+a)^4}{c^4+d^4+a^4}+\frac{(d+a+b)^5}{d^5+a^5+b^5}\le 120$$

(a)\tDecida si existen dos dígitos decimales $a$ y $b$ , tales que todo entero con representación decimal $ab222 ... 231$ es divisible por $73$ . (b)\tDecida si existen dos dígitos decimales $c$ y $d$ , tales que todo entero con representación decimal $cd222... 231$ es divisible por $79$ .