Sea $S = \{1,..., 999\}$ . Determine el entero más pequeño $m$ para el cual existen $m$ tarjetas de dos caras $C_1$ , ..., $C_m$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ Cada tarjeta $C_i$ tiene un entero de $S$ en un lado y otro entero de $S$ en el otro lado. $\bullet$ Para todo $x,y \in S$ con $x\ne y$ , es posible seleccionar una tarjeta $C_i$ que muestre $x$ en uno de sus lados y otra tarjeta $C_j$ (con $i \ne j$ ) que muestre $y$ en uno de sus lados.

Sean $p, q$ y $r$ tres líneas en el espacio tales que no hay ningún plano que sea paralelo a las tres. Demostrar que existen tres planos $\alpha, \beta$ , y $\gamma$ , que contienen a $p, q$ , y $r$ respectivamente, que son perpendiculares entre sí $(\alpha\perp\beta, \beta\perp\gamma, \gamma\perp \alpha).$

Determinar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales positivos tales que el sistema\n\[ax + by -cz = 0,\]\n\[a \sqrt{1-x^2}+b \sqrt{1-y^2}-c \sqrt{1-z^2}=0,\]\nes compatible en el conjunto de los números reales, y luego encontrar todas sus soluciones reales.

Sea $p$ un primo y $A = \{a_1, \ldots , a_{p-1} \}$ un subconjunto arbitrario del conjunto de números naturales tal que ninguno de sus elementos es divisible por $p$. Definamos una aplicación $f$ desde $\mathcal P(A)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $A$) al conjunto $P = \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ de la siguiente manera: $(i)$ si $B = \{a_{i_{1}}, \ldots , a_{i_{k}} \} \subset A$ y $\sum_{j=1}^k a_{i_{j}} \equiv n \pmod p$ , entonces $f(B) = n,$ $(ii)$ $f(\emptyset) = 0$ , siendo $\emptyset$ el conjunto vacío. Demostrar que para cada $n \in P$ existe $B \subset A$ tal que $f(B) = n.$

Encontrar las relaciones entre los ángulos del triángulo $ABC$ cuya altitud $AH$ y mediana $AM$ satisfacen $\angle BAH = \angle CAM$.

Un tetraedro variable $ABCD$ tiene las siguientes propiedades: Sus longitudes de arista pueden cambiar, así como sus vértices, pero las aristas opuestas permanecen iguales $(BC = DA, CA = DB, AB = DC)$ ; y los vértices $A,B,C$ se encuentran respectivamente en tres esferas fijas con el mismo centro $P$ y radios $3, 4, 12$ . ¿Cuál es la longitud máxima de $PD$ ?

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos distintos arbitrarios en el espacio. $(a)$ Demostrar que usando los segmentos $AB +CD, AC +BD$ y $AD +BC$ , siempre es posible construir un triángulo $T$ que no es degenerado y no tiene ningún ángulo obtuso. $(b)$ ¿Qué deben satisfacer estos cuatro puntos para que el triángulo $T$ sea rectángulo?

Demostrar que es posible colocar $2n(2n + 1)$ piezas paralelepípedas (rectangulares) de jabón de dimensiones $1 \times 2 \times (n + 1)$ en una caja cúbica con arista $2n + 1$ si y sólo si $n$ es par o $n = 1$. Observación . Se asume que las aristas de las piezas de jabón son paralelas a las aristas de la caja.

Dada la expresión \[P_n(x) =\frac{1}{2^n}\left[(x +\sqrt{x^2 - 1})^n+(x-\sqrt{x^2 - 1})^n\right],\] demostrar: $(a) P_n(x)$ satisface la identidad \[P_n(x) - xP_{n-1}(x) + \frac{1}{4}P_{n-2}(x) \equiv 0.\] $(b) P_n(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $n.$

Consideramos un punto fijo $P$ en el interior de una esfera fija. Construimos tres segmentos $PA, PB, PC$, perpendiculares dos a dos, con los vértices $A, B, C$ en la esfera. Consideramos el vértice $Q$ que es opuesto a $P$ en el paralelepípedo (con ángulos rectos) con $PA, PB, PC$ como aristas. Encontrar el lugar geométrico del punto $Q$ cuando $A, B, C$ toman todas las posiciones compatibles con nuestro problema.