Si $r > s >0$ y $a > b > c$ , demuestre que \[a^rb^s + b^rc^s + c^ra^s \ge a^sb^r + b^sc^r + c^sa^r.\]

En $ABC$ con $\angle C = 60^{\circ}$ , demuestre que \[\frac{c}{a} + \frac{c}{b} \ge2.\]

Si $p$ es un primo mayor que $3$, demuestre que al menos uno de los números \[\frac{3}{p^2} , \frac{4}{p^2} , \cdots, \frac{p-2}{p^2}\] es expresable en la forma $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos.

$A,B,C,D,E$ son puntos en un círculo $O$ con radio igual a $r$. Las cuerdas $AB$ y $DE$ son paralelas entre sí y tienen una longitud igual a $x$. Se dibujan las diagonales $AC,AD,BE, CE$. Si el segmento $XY$ en $O$ se encuentra con $AC$ en $X$ y con $EC$ en $Y$, demuestre que las líneas $BX$ y $DY$ se encuentran en $Z$ en el círculo.

En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC$. Un círculo que es internamente tangente con el círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$.

Si $C^p_n=\frac{n!}{p!(n-p)!} (p \ge 1)$, demostrar la identidad \[C^p_n=C^{p-1}_{n-1} + C^{p-1}_{n-2} + \cdots + C^{p-1}_{p} + C^{p-1}_{p-1}\] y luego evaluar la suma \[S = 1\cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + 97 \cdot 98 \cdot 99.\]

$A$ es un entero positivo de $2m$ dígitos, cada uno de los cuales es $1$. $B$ es un entero positivo de $m$ dígitos, cada uno de los cuales es $4$. Demostrar que $A+B +1$ es un cuadrado perfecto.

Dado un círculo, construir una cuerda que sea trisecada por dos radios no colineales dados.

Simplificar \[\frac{1}{\log_a(abc)}+\frac{1}{\log_b(abc)}+\frac{1}{\log_c(abc)},\] donde $a, b, c$ son números reales positivos.

Los enteros del $1$ al $1000$ están ubicados en la circunferencia de un círculo en orden natural. Comenzando con $1$, cada quinceavo número (es decir, $1, 16, 31, \cdots$) es marcado. El marcado continúa hasta que se alcanza un número ya marcado. ¿Cuántos de los números quedarán sin marcar?