Una sucesión $(a_n)_0^N$ de números reales se llama cóncava si $2a_n\ge a_{n-1} + a_{n+1}$ para todos los enteros $n, 1 \le n \le N - 1$ . $(a)$ Demuestra que existe una constante $C >0$ tal que \[\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n\right)^2\ge C(N - 1)\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n^2\:\:\:\:\:(1)\] para todas las sucesiones positivas cóncavas $(a_n)^N_0$ $(b)$ Demuestra que $(1)$ se cumple con $C = \frac{3}{4}$ y que esta constante es la mejor posible.

Una función $f : I \to \mathbb R$ , definida en un intervalo $I$ , se llama cóncava si $f(\theta x + (1 - \theta)y) \geq \theta f(x) + (1 - \theta)f(y)$ para todo $x, y \in I$ y $0 \leq \theta \leq 1$ . Asume que las funciones $f_1, \ldots , f_n$ , teniendo todos valores no negativos, son cóncavas. Demuestra que la función $(f_1f_2 \cdots f_n)^{1/n}$ es cóncava.

Una sucesión $(a_n)^{\infty}_0$ de números reales se llama convexa si $2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1}$ para todos los enteros positivos $n$ . Sea $(b_n)^{\infty}_0$ una sucesión de números positivos y asume que la sucesión $(\alpha^nb_n)^{\infty}_0$ es convexa para cualquier elección de $\alpha > 0$ . Demuestra que la sucesión $(\log b_n)^{\infty}_0$ es convexa.

Sea $\mathcal{C}$ la circunferencia circunscrita del cuadrado con vértices $(0, 0), (0, 1978), (1978, 0), (1978, 1978)$ en el plano cartesiano. Demuestra que $\mathcal{C}$ no contiene ningún otro punto para el cual ambas coordenadas sean enteros.

Sean los polinomios \[P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1 }+ \cdots + a_1x + a_0,\] \[Q(x) = x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0,\] dados satisfaciendo la identidad $P(x)^2 = (x^2 - 1)Q(x)^2 + 1$ . Demuestra la identidad \[P'(x) = nQ(x).\]

Una sociedad internacional tiene miembros de seis países diferentes. La lista de miembros contiene $1978$ nombres, numerados $1, 2, \dots, 1978$. Demuestre que hay al menos un miembro cuyo número es la suma de los números de dos miembros de su propio país, o dos veces mayor que el número de un miembro de su propio país.

Dada una función no constante $f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(xy) = f(x)f(y)$ para cualquier $x, y > 0$ , encuentre funciones $c, s : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ que satisfagan $c\left(\frac{x}{y}\right) = c(x)c(y)-s(x)s(y)$ para toda $x, y > 0$ y $c(x)+s(x) = f(x)$ para toda $x > 0$ .

Sean $c, s$ funciones reales definidas en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ que no son constantes en ningún intervalo y satisfacen \[c\left(\frac{x}{y}\right)= c(x)c(y) - s(x)s(y)\text{ para cualquier }x \neq 0, y \neq 0\] Demuestre que: $(a) c\left(\frac{1}{x}\right) = c(x), s\left(\frac{1}{x}\right) = -s(x)$ para cualquier $x = 0$ , y también $c(1) = 1, s(1) = s(-1) = 0$ ; $(b) c$ y $s$ son funciones pares o impares (una función $f$ es par si $f(x) = f(-x)$ para toda $x$, e impar si $f(x) = -f(-x)$ para toda $x$ ) . Encuentre funciones $c, s$ que también satisfagan $c(x) + s(x) = x^n$ para toda $x$, donde $n$ es un entero positivo dado.

Determine el sexto número después del punto decimal en el número $(\sqrt{1978} +\lfloor\sqrt{1978}\rfloor)^{20}$

Para cada entero $d \geq 1$, sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no pueden escribirse como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$, teniendo al menos dos términos y consistiendo de enteros positivos. Sea $A = M_1$, $B = M_2 \setminus \{2 \}, C = M_3$. Demuestre que cada $c \in C$ puede escribirse de forma única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$