Considere un polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ con $a > 0$ que tiene dos raíces reales $x_1, x_2$ . Pruebe que los valores absolutos de ambas raíces son menores o iguales a $1$ si y sólo si $a + b + c \ge 0, a -b + c \ge 0$ , y $a - c \ge 0$ .

Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una secuencia con todos sus términos positivos. El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la secuencia es $f(f(n))+1.$ Encuentra $f(240).$

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$ , donde $m$ es un entero positivo arbitrario. ¿Cuál es el entero más pequeño $k$ tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros diferentes, uno de los cuales divide al otro?

Sean $x$ e $y$ dos enteros no iguales a $0$ tales que $x+y$ es un divisor de $x^2+y^2$ . Y sea $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ un divisor de $1978$ . Pruebe que $x = y$ .

Un círculo toca los lados $AB,BC, CD,DA$ de un cuadrado en los puntos $K,L,M,N$ respectivamente, y $BU, KV$ son líneas paralelas tales que $U$ está en $DM$ y $V$ en $DN$ . Pruebe que $UV$ toca el círculo.

Sea $O$ el centro de un círculo. Sean $OU,OV$ radios perpendiculares del círculo. La cuerda $PQ$ pasa por el punto medio $M$ de $UV$ . Sea $W$ un punto tal que $PM = PW$ , donde $U, V,M,W$ son colineales. Sea $R$ un punto tal que $PR = MQ$ , donde $R$ se encuentra en la línea $PW$ . Demuestre que $MR = UV$ . Versión alternativa: Se da un círculo $S$ con centro $O$ y radio $r$ . Sea $M$ un punto cuya distancia desde $O$ es $\frac{r}{\sqrt{2}}$ . Sea $PMQ$ una cuerda de $S$ . El punto $N$ está definido por $\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MQ}$ . Sea $R$ la reflexión de $N$ por la línea que pasa por $P$ que es paralela a $OM$ . Demuestre que $MR =\sqrt{2}r$

Consideramos tres semirrectas distintas $Ox, Oy, Oz$ en un plano. Demuestre la existencia y unicidad de tres puntos $A \in Ox, B \in Oy, C \in Oz$ tales que los perímetros de los triángulos $OAB,OBC,OCA$ son todos iguales a un número dado $2p > 0.$

Dado un número natural $n$ , demuestre que el número $M(n)$ de puntos con coordenadas enteras dentro del círculo $(O(0, 0),\sqrt{n})$ satisface $\pi n - 5\sqrt{n} + 1<M(n) < \pi n+ 4\sqrt{n} + 1$

Demuestre que para cualquier entero positivo $x, y, z$ con $xy-z^2 = 1$ se pueden encontrar enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que $x = a^2 + b^2, y = c^2 + d^2, z = ac + bd$ . Establezca $z = (2q)!$ para deducir que para cualquier número primo $p = 4q + 1$ , $p$ puede representarse como la suma de cuadrados de dos enteros.

Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí mismo. Demuestre que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$