La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sevket12 124 publicaciones sevket12 #1 h 8 de feb. de 2025, 6:33 a. m. Y por Para un entero positivo $n$ , sea $S_n$ el conjunto de enteros positivos que no exceden a $n$ y son coprimos con $n$ . Defina $f(n)$ como el entero positivo más pequeño que permite que $S_n$ sea particionado en $f(n)$ subconjuntos disjuntos, cada uno formando una progresión aritmética. Demuestre que existen infinitos pares $(a, b)$ que satisfacen $a, b > 2025$ , $a \mid b$ , y $f(a) \nmid f(b)$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por sevket12, 8 de feb. de 2025, 6:39 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Octav 53 publicaciones Octav #1 h 18 de julio de 2010, 4:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f(x) = ax^2+bx+c$ un trinomio cuadrático con $a$ , $b$ , $c$ números reales tal que cualquier trinomio cuadrático obtenido mediante una permutación de los coeficientes de $f$ tiene una raíz entera (incluyendo al propio $f$). Demuestre que $f(1)=0$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 14 de abr. de 2025, 4:59 a. m. • 9 Y Y por farhad.fritl, Frd_19_Hsnzde, Rounak_iitr, cubres, radian_51, dangerousliri, ItsBesi, radioactiverascal90210, Leman_Nabiyeva Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y $AB \neq AC$. Sean las rectas $BI$ y $CI$ que intersecan al circuncírculo de $ABC$ en $P \neq B$ y $Q \neq C$, respectivamente. Considere los puntos $R$ y $S$ tales que $AQRB$ y $ACSP$ son paralelogramos (con $AQ \parallel RB$, $AB \parallel QR$, $AC \parallel SP$ y $AP \parallel CS$). Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $RB$ y $SC$. Demuestre que los puntos $R, S, T$ e $I$ son concíclicos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 14 de mar. de 2021, 5:16 a. m. • 1 Y Y por Mango247 Se da un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $AD$ su altura, sean $H$ y $O$ su ortocentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $K$ el punto en el segmento $AH$ tal que $AK=HD$; sea $L$ el punto en el segmento $CD$ tal que $CL=DB$. Demuestre que la recta $KL$ pasa por $O$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 922 publicaciones mathisreal #1 h 9 de enero de 2018, 2:21 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 5) Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: un jugador escribe, en un tablero, un entero positivo $n$, después de esto borran un número en el tablero y escriben un nuevo número que puede ser: i) El último número $p$, donde el nuevo número será $p - 2^k$ donde $k$ es el número más grande tal que $p\ge 2^k$ ii) El último número $p$, donde el nuevo número será $\frac{p}{2}$ si $p$ es par. Los jugadores juegan alternadamente, un jugador gana si el nuevo número es igual a $0$ y el jugador $A$ comienza. a) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 40$? b) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 2012$? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 9 de enero de 2018, 2:27 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 14 de mar. de 2021, 5:13 a. m. • 1 Y Y por Mango247 Se da una fila de 2021 bolas. Pasha y Vova juegan un juego, turnándose para realizar movimientos; Pasha comienza. En cada turno, un chico debe pintar una bola no pintada con uno de los tres colores disponibles: rojo, amarillo o verde (inicialmente todas las bolas están sin pintar). Cuando todas las bolas están coloreadas, Pasha gana si hay tres bolas consecutivas de diferentes colores; de lo contrario, Vova gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 14 de mar. de 2021, 5:18 a. m. • 3 Y Y por Mango247, cubres, Solocraftsolo Llamemos a un conjunto de enteros positivos "agradable" si su número de elementos es igual al promedio de todos sus elementos. Llamemos a un número $n$ "asombroso" si se puede particionar el conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ en subconjuntos agradables. a) Demuestre que cualquier cuadrado perfecto es asombroso. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no son asombrosos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sevket12 124 publicaciones sevket12 #1 h 8 de febrero de 2025, 6:24 a. m. Y por ¿Existe una sucesión de números reales positivos $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ que satisfaga: \[ \sum_{i=1}^{n} a_i \geq n^2 \quad \text{y} \quad \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \leq n^3 + 2025n \] para todo entero positivo $n$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mongol mathematician 10 publicaciones mongol mathematician #1 h 18 de mar. de 2007, 10:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea ABC un triángulo acutángulo con perpendiculares AH1, BH2 y bisectrices AL1, AL2. Sea O el circuncentro e I el incentro. Demuestre que si y solo si L1, O, L2 son colineales, entonces H1, I, H2 son colineales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:18 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Funcshun840 Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación para cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestre que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$ Z K Y