Demuestra que para cada entero positivo $n$ coprimo con $10$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $1$ en su representación decimal.

Sean $p(x, y)$ y $q(x, y)$ polinomios en dos variables tales que para $x \ge 0, y \ge 0$ se cumplen las siguientes condiciones: $(i)$ $p(x, y)$ y $q(x, y)$ son funciones crecientes de $x$ para cada $y$ fijo. $(ii)$ $p(x, y)$ es una función creciente y $q(x)$ es una función decreciente de $y$ para cada $x$ fijo. $(iii)$ $p(x, 0) = q(x, 0)$ para cada $x$ y $p(0, 0) = 0$ . Demuestra que las ecuaciones simultáneas $p(x, y) = a, q(x, y) = b$ tienen una solución única en el conjunto $x \ge 0, y \ge 0$ para todos $a, b$ que satisfacen $0 \le b \le a$ pero carecen de solución en el mismo conjunto si $a < b$ .

Los satélites $A$ y $B$ circulan la Tierra en el plano ecuatorial a una altitud $h$ . Están separados por una distancia $2r$ , donde $r$ es el radio de la Tierra. ¿Para qué $h$ pueden ser vistos en direcciones mutuamente perpendiculares desde algún punto en el ecuador?

La ecuación $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ tiene tres raíces reales (no necesariamente distintas) $t, u, v$ . ¿Para cuáles $a, b, c$ los números $t^3, u^3, v^3$ satisfacen la ecuación $x^3 + a^3x^2 + b^3x + c^3 = 0$ ?

Encuentra todos los números naturales $n < 1978$ con la siguiente propiedad: Si $m$ es un número natural, $1 < m < n$ , y $(m, n) = 1$ (es decir, $m$ y $n$ son primos relativos), entonces $m$ es un número primo.

Muestra que para cualquier número natural $n$ existen dos números primos $p$ y $q, p \neq q$, tales que $n$ divide su diferencia.

Sea $T_1$ un triángulo que tiene $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene $u, v,w$ como longitudes de sus lados. Si $P,Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestra que \[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Para dos triángulos dados $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ con áreas $\Delta_A$ y $\Delta_B$, respectivamente, $A_iA_k \ge B_iB_k, i, k = 1, 2, 3$. Demuestra que $\Delta_A \ge \Delta_B$ si el triángulo $A_1A_2A_3$ no es obtusángulo.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $1 \le m < n$. En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $1978^n$. Encuentra $m$ y $n$ tales que $m + n$ tenga su menor valor.

Demuestra que para toda $X > 1$, existe un triángulo cuyos lados tienen longitudes $P_1(X) = X^4+X^3+2X^2+X+1, P_2(X) = 2X^3+X^2+2X+1$, y $P_3(X) = X^4-1$. Demuestra que todos estos triángulos tienen el mismo ángulo mayor y calcúlalo.