Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí mismo. Demuestra que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$

En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC$. Un círculo que es internamente tangente con el círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P,$ respectivamente $Q.$ Demuestra que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC.$

Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una secuencia con todos sus términos positivos. El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la secuencia es $f(f(n))+1$. Encuentra $f(240).$

Consideramos un punto fijo $P$ en el interior de una esfera fija. Construimos tres segmentos $PA, PB, PC$, perpendiculares dos a dos, con los vértices $A, B, C$ en la esfera. Consideramos el vértice $Q$ que es opuesto a $P$ en el paralelepípedo (con ángulos rectos) con $PA, PB, PC$ como aristas. Encuentra el lugar geométrico del punto $Q$ cuando $A, B, C$ toman todas las posiciones compatibles con nuestro problema.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $1 \le m < n$. En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $1978^n$. Encuentra $m$ y $n$ tales que $m + n$ tenga su valor mínimo.

¿Existen dos secuencias acotadas $a_1, a_2,\ldots$ y $b_1, b_2,\ldots$ tales que para cada entero positivo $n$ y $m>n$ al menos una de las dos desigualdades $|a_m-a_n|>1/\sqrt{n},$ y $|b_m-b_n|>1/\sqrt{n}$ se cumple?

Se da un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales de grado mayor que $1$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma \[f(n+1)+f(n+2)+\cdots+f(n+k)\] donde $n$ y $k$ son enteros positivos.

En el triángulo $ABC$ , un punto $M$ es el punto medio de $AB$ , y un punto $I$ es el incentro. El punto $A_1$ es la reflexión de $A$ en $BI$ , y $B_1$ es la reflexión de $B$ en $AI$ . Sea $N$ el punto medio de $A_1B_1$ . Demuestre que $IN > IM$ .

En el paralelogramo $ABCD$ con ángulo agudo $A$ se elige un punto $N$ en el segmento $AD$ , y un punto $M$ en el segmento $CN$ de modo que $AB = BM = CM$ . El punto $K$ es la reflexión de $N$ en la línea $MD$ . La línea $MK$ se encuentra con el segmento $AD$ en el punto $L$ . Sea $P$ el punto común de las circunferencias circunscritas de $AMD$ y $CNK$ tal que $A$ y $P$ compartan el mismo lado de la línea $MK$ . Demuestre que $\angle CPM = \angle DPL$ .

Un árbol- $2$ de diez niveles se dibuja en el plano: un vértice $A_1$ está marcado, está conectado por segmentos con dos vértices $B_1$ y $B_2$ , cada uno de $B_1$ y $B_2$ está conectado por segmentos con dos de los cuatro vértices $C_1, C_2, C_3, C_4$ (cada $C_i$ está conectado con un $B_j$ exactamente); y así sucesivamente, hasta $512$ vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ . Cada uno de los vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ está coloreado de azul o dorado. Considere todas las permutaciones $f$ de los vértices de este árbol, tales que (i) si $X$ y $Y$ están conectados con un segmento, entonces también lo están $f(X)$ y $f(Y)$ , y (ii) si $X$ está coloreado, entonces $f(X)$ tiene el mismo color. Encuentra el máximo $M$ tal que haya al menos $M$ permutaciones con estas propiedades, independientemente de la coloración.