Polinomios no nulos $P(x)$ , $Q(x)$ , y $R(x)$ con coeficientes reales satisfacen las identidades $$ P(x) + Q(x) + R(x) = P(Q(x)) + Q(R(x)) + R(P(x)) = 0. $$ Demuestre que los grados de los tres polinomios son todos pares.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ , $E$ , $F$ proyecciones ortogonales de $A$ , $B$ , $C$ a los lados opuestos respectivamente. Sean $X$ , $Y$ , $Z$ los puntos medios de $AD$ , $BE$ , $CF$ respectivamente. Demuestra que las perpendiculares desde $D$ a $YZ$ , desde $E$ a $XZ$ y desde $F$ a $XY$ son concurrentes.

Llamamos a una secuencia de $n$ dígitos uno o cero un código. Una subsecuencia de un código es un palíndromo si es la misma después de invertir el orden de sus dígitos. Un palíndromo se llama agradable si sus dígitos ocurren consecutivamente en el código. (El código $(1101)$ contiene $10$ palíndromos, de los cuales $6$ son agradables.) a) ¿Cuál es el número mínimo de palíndromos en un código? b) ¿Cuál es el número mínimo de palíndromos agradables en un código?

Un palíndromo es una secuencia de dígitos que no cambia si invertimos el orden de sus dígitos. Demuestra que una secuencia $(x_n)^{\infty}_{n=0}$ definida como $x_n=2013+317n$ contiene infinitos números con sus expansiones decimales siendo palíndromos.

En cada campo de una tabla hay un número real. Llamamos a tal tabla de $n \times n$ tonta si cada entrada es igual al producto de todos los números en los campos vecinos. a) Encuentra todas las tablas tontas de $2 \times 2$. b) Encuentra todas las tablas tontas de $3 \times 3$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen : \[ \frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}\ge \frac{ab}{1+a+b}+\frac{bc}{1+b+c}+\frac{ca}{1+c+a} \] Entonces probar que : \[ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2\ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \]

Se nos da una cerradura de combinación que consta de $6$ discos giratorios. Cada disco consta de los dígitos $0, 1, 2,\ldots , 9$ en ese orden (después del dígito $9$ viene $0$ ) . La cerradura se abre con exactamente una combinación. Un movimiento consiste en girar uno de los discos un dígito en cualquier dirección y la cerradura se abre instantáneamente si la combinación actual es correcta. Los discos se colocan inicialmente en la posición $000000$ , y sabemos que esta combinación no es correcta. a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta? b) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta, si sabemos que ninguna de las combinaciones $000000, 111111, 222222, \ldots , 999999$ es correcta?

Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $ABC$ . Una línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $BC$ y $CA$ en los puntos $L$ y $F$ , respectivamente. Una línea que pasa por $P$ paralela a $BC$ se encuentra con $CA$ y $BA$ en los puntos $M$ y $D$ respectivamente, y una línea que pasa por $P$ paralela a $CA$ se encuentra con $AB$ y $BC$ en los puntos $N$ y $E$ respectivamente. Demostrar que $$ [PDBL] \cdot [PECM] \cdot [PFAN]=8\cdot [PFM] \cdot [PEL] \cdot [PDN] $$

Para $m\in \mathbb{N}$ define $m?$ como el producto de los primeros $m$ primos. Determinar si existen enteros positivos $m,n$ con la siguiente propiedad : \[ m?=n(n+1)(n+2)(n+3) \]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. $P \in (CD), Q \in (AB)$ , $M= AP \cap DQ$ , $N=BP \cap CQ$ , $ K=MN \cap AD$ , $L= MN \cap BC$ . Demuestra que $BL=DK$ .