Sean $C_1,C_2$ dos circunferencias que se intersecan en los puntos $A,P$ con centros $O,K$ respectivamente. Sean $B,C$ los simétricos de $A$ con respecto a $O,K$ en las circunferencias $C_1,C_2 $ respectivamente. Una línea aleatoria que pasa por $A$ interseca a las circunferencias $C_1,C_2$ en $D,E$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEP$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $OKP$ .

Sean $O$ el centro de las circunferencias concéntricas $C_1,C_2$ de radios $3$ y $5$ respectivamente. Sean $A\in C_1, B\in C_2$ y $C$ un punto tal que el triángulo $ABC$ es equilátero. Encuentra la longitud máxima de $ [OC] $.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles $(AB=AC)$ tal que $\angle A< 2 \angle B$ . Sean $D,Z $ puntos en la extensión de la altura $AM$ tal que $\angle CBD = \angle A$ y $\angle ZBA = 90^\circ$ . Sea $E$ la proyección ortogonal de $M$ en la altura $BF$ , y sea $K$ la proyección ortogonal de $Z$ en $AE$ . Demuestra que $ \angle KDZ = \angle KDB = \angle KZB$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular y $M\in (DE)$ , $N\in(CD)$ tal que $m (\widehat {AMN}) = 90^\circ$ y $AN = CM \sqrt {2}$ . Encuentra el valor de $\frac{DM}{ME}$ .

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB=AD=BC, AB//CD, AB>CD$. Sea $E= AC \cap BD$ y $N$ simétrico a $B$ con respecto a $AC$. Demuestra que el cuadrilátero $ANDE$ es cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$. Se da que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$. La línea $PR$ se encuentra de nuevo con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$. Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

En una secuencia $P_n$ de trinomios cuadráticos cada trinomio, comenzando con el tercero, es la suma de los dos trinomios precedentes. Los dos primeros trinomios no tienen raíces comunes. ¿Es posible que $P_n$ tenga una raíz entera para cada $n$ ?

Se da un triángulo acutángulo $ABC$, $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se encuentran en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$ respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ se encuentra con los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.

En una tabla de $n\times n$ ( $n>1$ ) se marcan $k$ cuadrados unitarios. Se quiere reorganizar las filas y columnas para que todos los cuadrados unitarios marcados estén por encima de la diagonal principal o sobre ella. ¿Para qué $k$ máximo es siempre posible?

Los senos de tres ángulos agudos forman una progresión aritmética, mientras que los cosenos de estos ángulos forman una progresión geométrica. Demuestra que los tres ángulos son iguales.