Un cuadrado de $n\times n$ ( $n$ es un entero positivo) consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Un $\emph{camino monótono}$ en este cuadrado es un camino de longitud $2n$ que comienza en la esquina inferior izquierda del cuadrado, termina en su esquina superior derecha y recorre los lados de los cuadrados unitarios. Para cada $k$ , $0\leq k\leq 2n-1$ , sea $S_k$ el conjunto de todos los caminos monótonos tal que el número de cuadrados unitarios que se encuentran debajo del camino deja un resto $k$ al dividirse por $2n-1$ . Demuestra que todos los $S_k$ contienen el mismo número de elementos.

Se dan números reales positivos $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$. Sea $A = \sum_{i = 1}^k a_i, B = \sum_{i = 1}^k b_i$. Demuestra la desigualdad \[ \left( \sum_{i = 1}^k \frac{a_i b_i}{a_i B + b_i A} - 1 \right)^2 \ge \sum_{i = 1}^k \frac{a_i^2}{a_i B + b_i A} \cdot \sum_{i = 1}^k \frac{b_i^2}{a_i B + b_i A}. \]

En el trapecio $ABCD$, $M$ es el punto medio de la base $AD$. El punto $E$ se encuentra en el segmento $BM$. Se sabe que $\angle ADB=\angle MAE=\angle BMC$. Demuestra que el triángulo $BCE $ es isósceles.

Los polinomios $F$ y $G$ satisfacen: $$F(F(x))>G(F(x))>G(G(x))$$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x)>G(x)$ para todo $x$ real.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$, $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se encuentran en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$ respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ se encuentra con los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.

Una pila contiene $2021^{2021}$ piedras. En un movimiento, cualquier pila se puede dividir en dos pilas de modo que el número de piedras en ellas difiera en una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Después de algún movimiento resultó que el número de piedras en cada pila es una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Demuestra que el número de movimientos realizados fue par.

Se dan $y>1$ real y un entero positivo $n \leq y^{50}$ tal que todos los divisores primos de $n$ no exceden $y$. Demuestra que $n$ es un producto de $99$ factores enteros positivos (no necesariamente primos) que no exceden $y$.

En una tabla de $100\times 100$ se marcan $110$ cuadrados unitarios. ¿Es siempre posible reorganizar las filas y columnas para que todos los cuadrados unitarios marcados estén por encima de la diagonal principal o sobre ella?

Algunas mansiones del condado de Lipshire están conectadas por carreteras. Los habitantes de las mansiones conectadas por una carretera se llaman vecinos. ¿Es siempre posible establecer en cada mansión un caballero (que siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente) para que cada habitante pueda decir 'El número de mentirosos entre mis vecinos es al menos el doble del número de caballeros'?

Para $n$ enteros positivos distintos, se consideran todas sus $n(n-1)/2$ sumas por pares. Para cada una de estas sumas, Ivan ha escrito en la pizarra el número de enteros originales que son menores que esa suma y la dividen. ¿Cuál es la suma máxima posible de los números escritos por Ivan?