La bisectriz del ángulo $B$ de un paralelogramo $ABCD$ se encuentra con su diagonal $AC$ en $E$, y la bisectriz externa del ángulo $B$ se encuentra con la línea $AD$ en $F$. $M$ es el punto medio de $BE$. Demuestra que $CM // EF$.

Los trinomios cuadráticos $F$ y $G$ satisfacen $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x) > G(x)$ para todo $x$ real.

Sean $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y sea $ M$ un conjunto de $ n - 1$ enteros positivos que no contienen a $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes debe saltar a lo largo del eje real, comenzando en el punto $ 0$ y haciendo $ n$ saltos a la derecha con longitudes $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Demuestra que el orden se puede elegir de tal manera que el saltamontes nunca aterrice en ningún punto de $ M.$

Determine todas las funciones $ f$ del conjunto de los enteros positivos al conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , existe un triángulo no degenerado con lados de longitudes \n$ a, f(b) \text{ y } f(b + f(a) - 1).$ (Un triángulo es no degenerado si sus vértices no son colineales.)

Determine el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ ,\n\[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}.\]

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K,L$ y $M$ los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con $AB,BC$ y $CA$, respectivamente. La línea $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las líneas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestre que $\angle RIS$ es agudo.

Determine todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$.

Para cualquier entero positivo $n$, sea $\tau (n)$ denote el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y el mismo). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$.

En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Suponga que cada par de jueces está de acuerdo en a lo sumo $k$ candidatos. Demuestre que\n\[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}.\]

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las bisectrices perpendiculares de los lados $AB$ y $CD$ se intersecan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.