Un polígono convexo con $2n$ lados se llama rómbico si sus lados son iguales y todos los pares de lados opuestos son paralelos. Un polígono rómbico se puede dividir en cuadriláteros rómbicos. ¿Para qué valor de $n$ , un polígono rómbico de $2n$ lados se divide en $666$ cuadriláteros rómbicos?

Considerar $2n$ puntos en el plano. Dos jugadores $A$ y $B$ eligen alternativamente un punto en cada movimiento. Después de $2n$ movimientos, no quedan puntos para elegir y el juego termina. Sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $A$ y sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $B$. El que tenga la suma más alta gana. Si $A$ comienza el juego, describir la estrategia del ganador. Aclaración: Considere que todas las sumas parciales de distancias entre puntos dan números diferentes.

Dados los números naturales $a$ y $b$, con $1 \le a <b$, probar que existen números naturales $n_1<n_2< ...<n_k$, con $k \le a$ tal que $$\frac{a}{b}=\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}$$

Dado un tetraedro regular de arista $a$, sus aristas se dividen en $n$ segmentos iguales, obteniéndose así $n + 1$ puntos: $2$ en los extremos y $n - 1$ en el interior. Se considera el siguiente conjunto de planos: $\bullet$ aquellos que contienen las caras del tetraedro, y $\bullet$ cada uno de los planos paralelos a una cara del tetraedro y que contiene al menos uno de los puntos determinados anteriormente. Ahora se consideran todos aquellos puntos $P$ que pertenecen (simultáneamente) a cuatro planos de ese conjunto. Determinar el menor natural positivo $n$ para que entre esos puntos $P$ se puedan elegir los ocho vértices de un paralelepípedo rectangular de base cuadrada.

En una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, se inscribe un triángulo $ABC$ de ortocentro $H$. Se considera un triángulo $A'B'C'$ cuyos lados tienen por longitud las medidas de los segmentos $AB, CH$ y $2r$. Determinar el triángulo $ABC$ para que el área del triángulo $A'B'C'$ sea máxima.

Sean $n$ y $p$ dos enteros con $p$ primo positivo, tal que $pn + 1$ es un cuadrado perfecto. Demostrar que $n + 1$ es la suma de $p$ cuadrados perfectos, no necesariamente distintos.

Sean $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ números reales no negativos, tales que $x_1\le4$ y $x_1+x_2\le13$ y $x_1+x_2+x_3\le29$ y $x_1+x_2+x_3+x_4\le54$ y $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\le90$ . Pruebe que $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}+\sqrt{x_4}+\sqrt{x_5}\le20$ .

Sea $ABC$ un triángulo equiangular con circuncírculo $\omega$ . Sean los puntos $F\in AB$ y $E\in AC$ tal que $\angle ABE+\angle ACF=60^{\circ}$ . El circuncírculo del triángulo $AFE$ interseca al círculo $\omega$ en el punto $D$ . Las semirrectas $DE$ y $DF$ intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ en los puntos $X$ e $Y$ . Pruebe que el incentro del triángulo $DXY$ es independiente de la elección de $E$ y $F$ . (Los ángulos en el enunciado del problema no están dirigidos. Se asume que $E$ y $F$ son elegidos de tal manera que las semirrectas $DE$ y $DF$ de hecho intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ . )

Para cada secuencia $p_1<p_2<\cdots<p_8$ de ocho números primos, determine el entero más grande $N$ para el cual la siguiente ecuación no tiene solución en enteros positivos $x_1,\ldots,x_8$ : $$p_1\, p_2\, \cdots\, p_8 \n\left( \frac{x_1}{p_1}+ \frac{x_2}{p_2}+ ~\cdots~ +\frac{x_8}{p_8} \right)\n~~=~~ N $$

Determine el entero positivo más pequeño $M$ con la siguiente propiedad: Para cada elección de enteros $a,b,c$ , existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros de modo que $P(1)=aM$ y $P(2)=bM$ y $P(4)=cM$ .