Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ , el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$ , es decir, $1<d_n<P(n)$ , tal que la secuencia $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestra que o bien $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$ , para enteros positivos $n$ , son divisibles por el mismo entero $m>1$.

En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$ , cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la bisectriz perpendicular de $AA'$ . Define $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestra que $A_1$ , $B_1$ , y $C_1$ son colineales.

En una palabra de más de $10$ letras, dos letras consecutivas cualesquiera son diferentes. Demuestra que se pueden cambiar de lugar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, no se pueda dividir en subpalabras iguales.

Cada número real mayor que 1 está coloreado de rojo o azul con ambos colores siendo usados. Demuestra que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+\frac1b$ y $b+\frac1a$ son de diferentes colores.

En un conjunto de enteros positivos consecutivos, hay exactamente $100$ cubos perfectos y $10$ cuartas potencias perfectas. Demuestra que hay al menos $2000$ cuadrados perfectos en el conjunto.

En cada casilla de un tablero de ajedrez infinito se escribe el número mínimo de movimientos necesarios para que un caballo llegue a esa casilla desde una casilla dada $O$ . Una casilla se llama singular si $100$ está escrito en ella y $101$ está escrito en las cuatro casillas que comparten un lado con ella. ¿Cuántas casillas singulares hay?

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ , y $M$ es el punto medio de $AB$ . Los puntos $S_1$ y $S_2$ se encuentran en la línea $AB$ (pero no entre $A$ y $B$ ). Las tangentes trazadas desde $S_1$ a $\omega_1$ la tocan en $X_1$ y $Y_1$ , y las tangentes trazadas desde $S_2$ a $\omega_2$ la tocan en $X_2$ y $Y_2$ . Demuestra que si la línea $X_1X_2$ pasa por $M$ , entonces la línea $Y_1Y_2$ también pasa por $M$.

Niños rojos, azules y verdes están dispuestos en un círculo. Cuando una maestra les pidió a los niños rojos que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $20$ niños levantaron la mano. Cuando les preguntó a los niños azules que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $25$ niños levantaron la mano. Demuestra que algún niño que levantó la mano tenía dos vecinos verdes.

El Duque de los Cuadrados legó a sus tres hijos una finca cuadrada de $100\times 100$ millas cuadradas, compuesta por diez mil parcelas cuadradas de $1\times 1$ milla cuadrada. Toda la finca se dividió entre sus hijos de la siguiente manera. A cada hijo se le asignó un punto dentro de la finca. Una parcela cuadrada de $1\times 1$ se legó al hijo cuyo punto asignado estaba más cerca del centro de esta parcela cuadrada. ¿Es cierto que, independientemente de la elección de los puntos asignados, cada una de las regiones legadas a los hijos está conectada (es decir, existe un camino entre cada dos de sus puntos, sin salir nunca de la región)?

En una palabra de más de $10$ letras, dos letras consecutivas cualesquiera son diferentes. Demuestra que se pueden cambiar de lugar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, no se pueda dividir en subpalabras iguales.