La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 11:50 p. m. • 1 Y Y por mxsail La distancia fraccionaria entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se define como \[ \sqrt{ \left\| x_1 - x_2 \right\|^2 + \left\| y_1 - y_2 \right\|^2},\] donde $\left\| x \right\|$ denota la distancia entre $x$ y su entero más cercano. Encuentre el mayor número real $r$ tal que existan cuatro puntos en el plano cuyas distancias fraccionarias por pares sean todas al menos $r$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Photaesthesia, 27 de nov. de 2024, 11:50 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 1:31 a. m. • 2 Y Y por Jupiterballs, mxsail Sea $\alpha > 1$ un número irracional y $L$ un entero tal que $L > \frac{\alpha^2}{\alpha - 1}$ . Una sucesión $x_1, x_2, \cdots$ satisface que $x_1 > L$ y para todo entero positivo $n$ , \[ x_{n+1} = \begin{cases} \left \lfloor \alpha x_n \right \rfloor & \textup{si} \; x_n \leqslant L \\\left \lfloor \frac{x_n}{\alpha} \right \rfloor & \textup{si} \; x_n > L \end{cases}. \] Demuestre que (i) $\left\{x_n\right\}$ es eventualmente periódica. (ii) El periodo fundamental eventual de $\left\{x_n\right\}$ es un entero impar que no depende de la elección de $x_1$ . Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Photaesthesia, 27 de nov. de 2024, 1:43 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jlammy 1099 publicaciones jlammy #1 h 9 de abril de 2017, 6:58 AM • 7 Y Y por doxuanlong15052000, Davi-8191, megarnie, Miku_, Adventure10, lksb, cubres Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el cual no hay dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del baricentro $G$ y del circuncentro $O$ de $ABC$ sobre sus lados $BC,CA,AB$ se denotan por $G_1,G_2,G_3$ y $O_1,O_2,O_3$, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C$, $G_1G_3B$, $G_2G_3A$, $O_1O_2C$, $O_1O_3B$, $O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres medianas. Una mediana es una línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jlammy, 9 de abril de 2017, 6:59 AM Razón: se añadió una nota sobre el baricentro que estaba incluida en el artículo original Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 1:16 a. m. • 3 Y Y por Rounak_iitr, sami1618, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Denotemos los puntos medios de $AI$, $AC$ y $CI$ como $L$, $M$ y $N$ respectivamente. El punto $D$ yace sobre el segmento $AM$ tal que $BC= BD$. Sea el incírculo del triángulo $ABD$ tangente a $AD$ y $BD$ en $E$ y $F$ respectivamente. Denotemos el circuncentro del triángulo $AIC$ como $J$, y el circuncirculo del triángulo $JMD$ como $\omega$. Las rectas $MN$ y $JL$ se cortan con $\omega$ nuevamente en $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que $PQ$, $LN$ y $EF$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Photaesthesia, 27 de nov. de 2024, 2:22 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de julio de 2009, 6:30 a. m. • 11 Y Y por Davi-8191, Achillys, e_plus_pi, RudraRockstar, samrocksnature, HWenslawski, jhu08, megarnie, ImSh95, Adventure10, Ywgh1 Sean $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y sea $ M$ un conjunto de $ n - 1$ enteros positivos que no contiene a $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes debe saltar a lo largo del eje real, comenzando en el punto $ 0$ y realizando $ n$ saltos hacia la derecha con longitudes $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Demuestre que el orden puede elegirse de tal manera que el saltamontes nunca aterrice en ningún punto de $ M.$ Propuesto por Dmitry Khramtsov, Rusia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 18 de julio de 2009, 8:16 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 8 de abr. de 2017, 6:52 a. m. • 11 Y Y por tenplusten, anantmudgal09, xhenisa, Problem_Penetrator, AlirezaSh, megarnie, Adventure10, Mango247, ItsBesi, Rounak_iitr, PikaPika999 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ y $\angle ABC> \angle CDA$ . Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD$ , respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca a las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$ , respectivamente. Se da que $PQ=RS$ . Sea $M$ el punto medio de $BD$ y $N$ el punto medio de $QR$ . Demuestre que los puntos $M,N,A$ y $C$ yacen sobre un círculo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 8 de abril de 2017, 7:03 a. m. • 7 Y Y por anantmudgal09, dangerousliri, Davi-8191, Amir Hossein, megarnie, Adventure10, Mango247 Encuentre el entero positivo $k$ más pequeño para el cual existe una coloración de los enteros positivos $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$ con las siguientes dos propiedades: $(i)$ Para todos los enteros positivos $m,n$ del mismo color, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Existen enteros positivos $m,n$ tales que $f(m+n)\ne f(m)+f(n).$ En una coloración de $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores, cada entero está coloreado con exactamente uno de los $k$ colores. Tanto en $(i)$ como en $(ii)$, los enteros positivos $m,n$ no son necesariamente distintos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por IstekOlympiadTeam, 8 de abril de 2017, 7:04 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 8 de abril de 2017, 6:55 a. m. • 8 Y Y por anantmudgal09, Pikachu05072001, Davi-8191, translate, Adventure10, Mango247, antimonio, farhad.fritl Hay $2017$ rectas en el plano tales que no hay tres de ellas que pasen por el mismo punto. El caracol Turbo se encuentra en un punto sobre exactamente una de las rectas y comienza a deslizarse a lo largo de las rectas de la siguiente manera: se mueve sobre una recta dada hasta que llega a una intersección de dos rectas. En la intersección, continúa su viaje por la otra recta girando a la izquierda o a la derecha, alternando su elección en cada punto de intersección al que llega. Solo puede cambiar de dirección en un punto de intersección. ¿Puede existir un segmento de recta por el cual pase en ambas direcciones durante su viaje? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por v_Enhance, 8 de abril de 2017, 8:27 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jlammy 1099 publicaciones jlammy #1 h 9 de abril de 2017, 6:54 a. m. • 6 Y Y por rightways, Davi-8191, Mathuzb, itslumi, megarnie, Adventure10 Sea $n\geq2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ de enteros positivos, no necesariamente distintos, es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que $$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.$$ a) Encuentre todos los enteros $n\geq2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestre que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n\geq2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa. Hay exactamente $n$ factores en el producto del lado izquierdo. Z K Y

Sean \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) enteros tales que \(a_1 > a_2 > \cdots > a_n > 1\). Sea \(M = \operatorname{lcm} \left( a_1, a_2, \ldots, a_n \right)\). Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ de enteros positivos, defina \[ f(X) = \min_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{x \in X} \left\{ \frac{x}{a_i} \right\}. \] Un conjunto $X$ de este tipo se denomina minimal si para todo subconjunto propio $Y$ de él, siempre se cumple que $f(Y) < f(X)$. Suponga que $X$ es minimal y que $f(X) \geqslant \frac{2}{a_n}$. Demuestre que \[ |X| \leqslant f(X) \cdot M. \]