La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rightways 869 publicaciones rightways #1 h 22 de julio de 2016, 4:45 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestre que para todo punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$, este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su círculo inscrito contiene a $P$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por rightways, 22 de julio de 2016, 5:03 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 28 de nov. de 2024, 12:07 a. m. • 3 Y Y por Rounak_iitr, Supercali, mxsail Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $\sum_{i=1}^n a_i = n$ , $\sum_{i = 1}^n a_i^2 = 2n$ , $\sum_{i=1}^n a_i^3 = 3n$ . (i) Encuentre la constante $C$ más grande tal que, para todo $n \geqslant 4$ , \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C. \] (ii) Demuestre que existe una constante positiva $C_2$ tal que \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C + C_2 n^{-\frac 32}, \] donde $C$ es la constante determinada en (i). Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Photaesthesia, 1 de dic. de 2024, 2:30 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 1:16 a. m. • 3 Y Y por Rounak_iitr, sami1618, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Denotemos los puntos medios de $AI$, $AC$ y $CI$ como $L$, $M$ y $N$ respectivamente. El punto $D$ yace sobre el segmento $AM$ tal que $BC= BD$. Sea el incírculo del triángulo $ABD$ tangente a $AD$ y $BD$ en $E$ y $F$ respectivamente. Denotemos el circuncentro del triángulo $AIC$ como $J$, y el circuncirculo del triángulo $JMD$ como $\omega$. Las rectas $MN$ y $JL$ se cortan con $\omega$ nuevamente en $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que $PQ$, $LN$ y $EF$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Photaesthesia, 27 de nov. de 2024, 2:22 a. m. Z K Y

Sean \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) enteros tales que \(a_1 > a_2 > \cdots > a_n > 1\). Sea \(M = \operatorname{lcm} \left( a_1, a_2, \ldots, a_n \right)\). Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ de enteros positivos, defina \[ f(X) = \min_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{x \in X} \left\{ \frac{x}{a_i} \right\}. \] Un conjunto $X$ de este tipo se denomina minimal si para todo subconjunto propio $Y$ de él, siempre se cumple que $f(Y) < f(X)$. Suponga que $X$ es minimal y que $f(X) \geqslant \frac{2}{a_n}$. Demuestre que \[ |X| \leqslant f(X) \cdot M. \]

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 11:59 p. m. • 4 Y Y por idkk, puntre, Rounak_iitr, mxsail Sea $p$ un número primo y $f$ una biyección de $\left\{0,1,\ldots,p-1\right\}$ en sí mismo. Suponga que para enteros $a,b \in \left\{0,1,\ldots,p-1\right\}$, $|f(a) - f(b)|\leqslant 2024$ si $p \mid a^2 - b$. Demuestre que existen infinitos $p$ tales que existe tal $f$ y también existen infinitos $p$ tales que no existe tal $f$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Photaesthesia, 28 de nov. de 2024, 12:20 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de julio de 2009, 6:30 a. m. • 11 Y Y por Davi-8191, Achillys, e_plus_pi, RudraRockstar, samrocksnature, HWenslawski, jhu08, megarnie, ImSh95, Adventure10, Ywgh1 Sean $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y sea $ M$ un conjunto de $ n - 1$ enteros positivos que no contiene a $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes debe saltar a lo largo del eje real, comenzando en el punto $ 0$ y realizando $ n$ saltos hacia la derecha con longitudes $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Demuestre que el orden puede elegirse de tal manera que el saltamontes nunca aterrice en ningún punto de $ M.$ Propuesto por Dmitry Khramtsov, Rusia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 18 de julio de 2009, 8:16 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jlammy 1099 publicaciones jlammy #1 h 9 de abril de 2017, 6:54 a. m. • 6 Y Y por rightways, Davi-8191, Mathuzb, itslumi, megarnie, Adventure10 Sea $n\geq2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ de enteros positivos, no necesariamente distintos, es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que $$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.$$ a) Encuentre todos los enteros $n\geq2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestre que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n\geq2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa. Hay exactamente $n$ factores en el producto del lado izquierdo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jlammy 1099 publicaciones jlammy #1 h 9 de abril de 2017, 6:58 AM • 7 Y Y por doxuanlong15052000, Davi-8191, megarnie, Miku_, Adventure10, lksb, cubres Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el cual no hay dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del baricentro $G$ y del circuncentro $O$ de $ABC$ sobre sus lados $BC,CA,AB$ se denotan por $G_1,G_2,G_3$ y $O_1,O_2,O_3$, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C$, $G_1G_3B$, $G_2G_3A$, $O_1O_2C$, $O_1O_3B$, $O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres medianas. Una mediana es una línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jlammy, 9 de abril de 2017, 6:59 AM Razón: se añadió una nota sobre el baricentro que estaba incluida en el artículo original Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 27 de nov. de 2024, 11:50 p. m. • 1 Y Y por mxsail La distancia fraccionaria entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se define como \[ \sqrt{ \left\| x_1 - x_2 \right\|^2 + \left\| y_1 - y_2 \right\|^2},\] donde $\left\| x \right\|$ denota la distancia entre $x$ y su entero más cercano. Encuentre el mayor número real $r$ tal que existan cuatro puntos en el plano cuyas distancias fraccionarias por pares sean todas al menos $r$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Photaesthesia, 27 de nov. de 2024, 11:50 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 8 de abr. de 2017, 6:52 a. m. • 11 Y Y por tenplusten, anantmudgal09, xhenisa, Problem_Penetrator, AlirezaSh, megarnie, Adventure10, Mango247, ItsBesi, Rounak_iitr, PikaPika999 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ y $\angle ABC> \angle CDA$ . Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD$ , respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca a las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$ , respectivamente. Se da que $PQ=RS$ . Sea $M$ el punto medio de $BD$ y $N$ el punto medio de $QR$ . Demuestre que los puntos $M,N,A$ y $C$ yacen sobre un círculo. Z K Y