Un círculo que pasa por los vértices $A$ y $B$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ interseca las diagonales $AC$ y $BD$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Las líneas $AF$ y $BC$ se encuentran en un punto $P$ , y las líneas $BE$ y $AD$ se encuentran en un punto $Q$ . Demuestra que $PQ$ es paralelo a $CD$.

Cada número real mayor que $1$ está coloreado de rojo o azul, y ambos colores se utilizan. Demuestra que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+b$ y $ab$ son de diferentes colores.

Demuestra que, entre $100000$ enteros positivos consecutivos de $100$ dígitos, hay un entero $n$ tal que la longitud del período de la expansión decimal de $\frac1n$ es mayor que $2011$.

Una circunferencia exinscrita del triángulo $ABC$ toca el lado $AB$ en $P$ y las extensiones de los lados $AC$ y $BC$ en $Q$ y $R$ , respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $PQ$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ , entonces el punto medio de $PR$ también se encuentra en esa circunferencia.

¿De cuántas maneras se puede quitar un cuadrado de $11\times11$ de un cuadrado de $2011\times2011$ para que la parte restante pueda ser cubierta con dominós (rectángulos de $1\times 2$)?

Niños rojos, azules y verdes están dispuestos en un círculo. Cuando una maestra les pidió a los niños rojos que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $20$ niños levantaron la mano. Cuando les preguntó a los niños azules que tienen un vecino verde que levantaran la mano, $25$ niños levantaron la mano. Demuestra que algún niño que levantó la mano tenía dos vecinos verdes.

Demuestra que $\lfloor{\sqrt{9n+7}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\rfloor$ para todo entero positivo $n$ .

¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de una cuadrícula de $4\times4$ tal que cada celda contenga exactamente un entero positivo y el producto de los números en cada fila y cada columna sea $2020$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Su incírculo toca los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. Sean $P$ , $Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $PQR$ son semejantes.

Sea $ABC$ un triángulo y en los lados dibujamos, externamente, los cuadrados $BADE, CBFG$ y $ACHI$ . Determine la mayor constante real positiva $k$ tal que, para cualquier triángulo $\triangle ABC$ , la siguiente desigualdad es verdadera: $[DEFGHI]\geq k\cdot [ABC]$ Nota: $[X]$ denota el área del polígono $X$ .