a) Encuentra un par(es) de enteros $(x,y)$ tal que: $y^2=x^3+2017$ \nb) Demuestra que no hay enteros $x$ e $y$ , con $y$ no divisible por $3$ , tal que: $y^2=x^3-2017$

En cierto país, las monedas tienen los siguientes valores: $2^0, 2^1, 2^2,\dots 2^{10}$ . Una máquina de efectivo tiene $1000$ monedas de cada valor y da el dinero usando cada moneda (de cada valor) como máximo una vez. Los clientes ordenan todos los enteros positivos: $1,2,3,4,5,\dots$ (en este orden) en monedas. a) Determine el primer entero, tal que la máquina de efectivo no puede proporcionar. b) En el momento en que el primer cliente no puede ser atendido, por la falta de monedas, ¿cuáles son las monedas que no están disponibles en la máquina de efectivo?

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$?

Hallar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores reales no negativos tales que: $f(2) = 0, f(x) \ne 0$ para $0 \le x < 2$, y $f(xf(y))f(y) = f(x + y)$ para todo $x, y$.

Sean $A, B$ vértices adyacentes de un $n$-gono regular ($n \ge 5$) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.

A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x, y, z$ respectivamente, y $y < 0$, entonces se permite la siguiente operación: $x, y, z$ se reemplazan por $x + y, -y, z + y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determinar si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$. Define $A_s = A_{s-3}$ para todo $s \ge 4$. Construir un conjunto de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en el sentido de las agujas del reloj para $k = 0, 1, 2, \ldots$. Demostrar que si $P_{1986} = P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Sea $d$ cualquier entero positivo diferente de $2, 5$ o $13$. Demostrar que se pueden encontrar distintos $a, b$ en el conjunto $\{2, 5, 13, d\}$ tal que $ab - 1$ no sea un cuadrado perfecto.

Sea $s(n)$ denote la suma de los dígitos de un entero positivo $n$. Usando seis dígitos diferentes, formamos tres números de 2 dígitos $p, q, r$ tales que $$p \cdot q \cdot s(r) = p\cdot s(q) \cdot r = s (p) \cdot q \cdot r.$$ Encuentra todos esos números $p, q, r$.

Encuentra todos los tres números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx + 4$$