La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. euclides05 66 publicaciones euclides05 #1 h 19 de feb. de 2023, 8:14 a. m. Y por Encuentre todas las cuádruplas (x, y, z, w) de números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema: $\begin{cases} \frac{xyz+1}{x+1}= \frac{yzw+1}{y+1}= \frac{zwx+1}{z+1}= \frac{wxy+1}{w+1}\\ x+y+z+w= 48 \end{cases}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Octav 53 publicaciones Octav #1 h 18 de julio de 2010, 4:13 a. m. • 4 Y Y por sohere, Adventure10, Mango247 y otro usuario. En una pizarra hay $2010$ números naturales distintos de cero. Definimos un "movimiento" como borrar $x$ e $y$ con $y\neq0$ y reemplazarlos por $2x+1$ y $y-1$, o podemos elegir reemplazarlos por $2x+1$ y $\frac{y-1}{4}$ si $y-1$ es divisible por 4. Sabiendo que al principio se borraron los números $2006$ y $2008$, demuestre que el conjunto original de números no puede obtenerse de nuevo mediante ninguna secuencia de movimientos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de marzo de 2024, 6:39 a. m. • 2 Y Y por ahxun2006, mxsail Hay dos círculos iguales de radio $1$ situados dentro del triángulo $ABC$ con lado $BC = 6$. Los círculos son tangentes entre sí, uno está inscrito en el ángulo $B$ y el otro está inscrito en el ángulo $C$. (a) Demuestre que el baricentro $M$ del triángulo $ABC$ no se encuentra dentro de ninguno de los círculos dados. (b) Demuestre que si $M$ se encuentra en uno de los círculos, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 15 de marzo de 2024, 6:39 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de marzo de 2024, 6:36 a. m. • 2 Y Y por kiyoras_2001, mxsail Los números positivos $a_1, a_2, \ldots , a_{2024}$ están colocados en un círculo en sentido horario en este orden. Sea $A_i$ la media aritmética del número $a_i$ y uno o varios de los que le siguen en sentido horario. Demuestre que el mayor de los números $A_1, A_2, \ldots , A_{2024}$ no es menor que la media aritmética de todos los números $a_1, a_2, \ldots , a_{2024}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de mar. de 2024, 6:24 a. m. • 1 Y Y por mxsail Dados $10$ enteros positivos con una suma igual a $1000$. El producto de sus factoriales es una décima potencia de un entero. Demuestre que todos estos números son iguales. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por a_507_bc, 15 de mar. de 2024, 6:27 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. vicentev 149 publicaciones vicentev #1 h 22 de oct. de 2024, 7:35 p. m. • 2 Y Y por Shalice_kr, mxsail Demuestre que si \( a \), \( b \) y \( c \) son números reales positivos, entonces se cumple la siguiente desigualdad: \[ \frac{a + 3c}{a + b} + \frac{c + 3a}{b + c} + \frac{4b}{c + a} \geq 6. \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por vicentev, 22 de oct. de 2024, 7:35 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de mar. de 2024, 6:18 a. m. • 1 Y Y por mxsail Se colocan bolas de $3$ colores —rojo, azul y blanco— en dos cajas. Si usted saca $3$ bolas de la primera caja, definitivamente habrá una azul entre ellas. Si usted saca $4$ bolas de la segunda caja, definitivamente habrá una roja entre ellas. Si usted saca cualesquiera $5$ bolas (solo de la primera, solo de la segunda, o de ambas cajas al mismo tiempo), entonces definitivamente habrá una bola blanca entre ellas. Encuentre el mayor número total posible de bolas en las dos cajas. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Octav 53 publicaciones Octav #1 h 18 de julio de 2010, 3:54 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Misha y Sasha juegan un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Primero, Sasha coloca $50$ reyes en el tablero, y Misha coloca una torre, y luego se turnan para mover, de la siguiente manera (Sasha comienza): En su turno, Sasha mueve cada uno de los reyes un cuadro en cualquier dirección, y Misha puede mover la torre horizontal o verticalmente cualquier número de cuadros. Los reyes no pueden ser capturados ni saltados. El objetivo de Sasha es capturar la torre, y el de Misha es evitar la captura. ¿Existe una estrategia ganadora para Sasha? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de mar. de 2024, 6:26 a. m. • 1 Y Y por mxsail Dado un conjunto $P$ de $n>100$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos que sean colineales, y un conjunto $S$ de $20n$ segmentos distintos, cada uno uniendo un par de puntos de $P$. Demuestre que existe una recta que no pasa por ningún punto de $P$ y que interseca al menos $200$ segmentos de $S$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 16 de mar. de 2024, 3:08 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 15 de mar. de 2024, 6:33 a. m. • 1 Y Y por mxsail Los enteros del $1$ al $320000$ se colocan en las celdas de un tablero de $8 \times 40000$. Demuestre que es posible permutar las filas de la tabla de modo que los números en cada columna no estén ordenados de arriba hacia abajo en orden creciente. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 15 de mar. de 2024, 6:33 a. m. Z K Y