Un polinomio mediterráneo tiene solo raíces reales y es de la forma \[ P(x) = x^{10}-20x^9+135x^8+a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 ] con coeficientes reales $a_0\ldots,a_7$ . Determine el número real más grande que ocurre como raíz de algún polinomio mediterráneo.

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $c$ , tales que las siguientes ecuaciones tienen soluciones en enteros positivos: $(x^2 - c)(y^2 -c) = z^2 -c$ y $(x^2 + c)(y^2 - c) = z^2 - c$ .

Determina todos los números primos $p_1, p_2,..., p_{12}, p_{13}, p_1 \le p_2 \le ... \le p_{12} \le p_{13}$ , tal que $p_1^2+ p_2^2+ ... + p_{12}^2 = p_{13}^2$ y uno de ellos es igual a $2p_1 + p_9$ .

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $(x + y)^2(x^2 + y^2) = 2009^2$.

Sean ${A, B, C}$ y ${O}$ cuatro puntos en el plano, tales que $\angle ABC>{{90}^{{}\circ }}$ y ${OA=OB=OC}$. Defina el punto ${D\in AB}$ y la recta ${l}$ tal que ${D\in l, AC\perp DC}$ y ${l\perp AO}$. La recta ${l}$ corta a ${AC}$ en ${E}$ y al circuncírculo de ${ABC}$ en ${F}$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos ${BEF}$ y ${CFD}$ son tangentes en ${F}$.

Dado un paralelogramo ${ABCD}$ con ángulo obtuso $\angle ABC$. Después de la rotación del triángulo ${ACD}$ alrededor del vértice ${C}$, obtenemos un triángulo ${CD'A'}$, tal que los puntos $B,C$ y ${D'}$ son colineales. Las extensiones de la mediana del triángulo ${CD'A'}$ que pasa por ${D'}$ interseca la línea recta ${BD}$ en el punto ${P}$. Demostrar que ${PC}$ es la bisectriz del ángulo $\angle BP{D'}$.

Un grupo de $n > 1$ piratas de diferente edad poseía un total de $2009$ monedas. Inicialmente, cada pirata (excepto el más joven) tenía una moneda más que el siguiente más joven.\na) Encuentre todos los valores posibles de $n$.\nb) Cada día se elegía a un pirata. El pirata elegido daba una moneda a cada uno de los otros piratas. Si $n = 7$, encuentre el mayor número posible de monedas que un pirata puede tener después de varios días.

Resuelva en enteros no negativos la ecuación $2^{a}3^{b} + 9 = c^{2}$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB+CD=BC+DE$ y $k$ un círculo con centro en el lado $AE$ que toca los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DE$ en los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ (diferentes de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las rectas $PS$ y $AE$ son paralelas.

a) ¿De cuántas maneras podemos leer la palabra SARAJEVO de la tabla a continuación, si está permitido saltar de una celda a una celda adyacente (por vértice o lado)? b) Después de que se eliminó la letra en una celda, solo quedaron $525$ formas de leer la palabra SARAJEVO. Encuentre todas las posiciones posibles de esa celda.