Sea $ f(0) = f(1) = 0$ y \[ f(n+2) = 4^{n+2} \cdot f(n+1) - 16^{n+1} \cdot f(n) + n \cdot 2^{n^2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots\] Demuestre que los números $ f(1989), f(1990), f(1991)$ son divisibles por $ 13.$

Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas : I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. ¿Para qué $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) ¿Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Dado un triángulo $ABC$. Sean $G$, $I$, $H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Demuestre que $\angle GIH > 90^{\circ}$.

Asuma que el conjunto de todos los enteros positivos es descompuesto en $r$ subconjuntos (disjuntos) $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_r = \mathbb{N}.$ Demuestre que uno de ellos, digamos $A_i,$ tiene la siguiente propiedad: Existe un $m$ positivo tal que para cualquier $k$ uno puede encontrar números $a_1, a_2, \ldots, a_k$ en $A_i$ con $0 < a_{j + 1} - a_j \leq m,$ $ (1 \leq j \leq k - 1)$ .

Sea $n \geq 3$ y considere un conjunto $E$ de $2n - 1$ puntos distintos en un círculo. Suponga que exactamente $k$ de estos puntos están coloreados de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $n$ puntos de $E$. Encuentre el valor más pequeño de $k$ tal que cada coloración de $k$ puntos de $E$ es buena.

Dados $n$ países con tres representantes cada uno, $m$ comités $A(1), A(2), \ldots, A(m)$ se llaman un ciclo si (i) cada comité tiene $n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma membresía; (iii) para $i = 1, 2, \ldots, m$, el comité $A(i)$ y el comité $A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $A(m + 1)$ denota $A(1);$ (iv) si $1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $A(i)$ y $A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países?

El entero $9$ puede ser escrito como la suma de dos enteros consecutivos: $9 = 4+5.$ Además, puede ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos exactamente de dos maneras: $9 = 4+5 = 2+3+4.$ ¿Existe un entero que pueda ser escrito como la suma de $1990$ enteros consecutivos y que pueda ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos exactamente de $1990$ maneras?

Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $\angle A$ del triángulo $ABC$ . La línea recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestre que $BN$ y $CM$ se encuentran en la bisectriz $AD$ .

Un tetraedro regular de altura $h$ tiene un tetraedro de altura $xh$ cortado por un plano paralelo a la base. Cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras inclinadas en un plano horizontal, está a punto de caerse. (En otras palabras, cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras inclinadas en un plano horizontal, la proyección del centro de gravedad G del tronco es un punto de la base menor de esta cara inclinada). Demuestre que $x$ es una raíz de la ecuación $x^3 + x^2 + x = 2$ .

Sea $A$ un conjunto finito de reales positivos, sea $B = \{x/y\mid x,y\in A\}$ y sea $C = \{xy\mid x,y\in A\}$ . Demuestre que $|A|\cdot|B|\le|C|^2$ .