Se hacen cubos unitarios en cuentas perforando un agujero a través de ellos a lo largo de una diagonal. Las cuentas se colocan en una cuerda de tal manera que puedan moverse libremente en el espacio bajo la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se toquen. Sea $ A$ el vértice inicial y $ B$ el vértice final. Sean $ p \times q \times r$ cubos en la cuerda $ (p, q, r \geq 1).$\n(a) Determina para qué valores de $ p, q,$ y $ r$ es posible construir un bloque con dimensiones $ p, q,$ y $ r.$ Da razones para tus respuestas.\n(b) La misma pregunta que (a) con la condición extra de que $ A = B.$

Demuestra que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades: \na.) Todos los ángulos son iguales.\nb.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.

Determinar para qué enteros positivos $k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser dividido en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B.$

En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se divide en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (que se llamará un lado “bueno”) que se encuentra en una línea de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altitud en este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado “malo” (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no es “bueno”) es un lado común de dos triángulos en la partición. Demostrar que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos.

Un matemático excéntrico tiene una escalera con $n$ peldaños que siempre asciende y desciende de la siguiente manera: Cuando asciende, cada paso que da cubre $a$ peldaños de la escalera, y cuando desciende, cada paso que da cubre $b$ peldaños de la escalera, donde $a$ y $b$ son enteros positivos fijos. Mediante una secuencia de pasos ascendentes y descendentes puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Hallar, con demostración, el valor mínimo de $n,$ expresado en términos de $a$ y $b.$

Sea $ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de los ángulos $CAB$ y $ABC$ que intersectan los lados $BC$ y $CA$ en los puntos $D$ y $F$, respectivamente. Las líneas $AD$ y $BF$ intersectan la línea que pasa por el punto $C$ paralela a $AB$ en los puntos $E$ y $G$ respectivamente, y tenemos $FG = DE$. Demostrar que $CA = CB$. Formulación original: Sea $ABC$ un triángulo y $L$ la línea que pasa por $C$ paralela al lado $AB$. Sea la bisectriz interna del ángulo en $A$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ y la línea $L$ en $E$ y sea la bisectriz interna del ángulo en $B$ que intersecta el lado $AC$ en $F$ y la línea $L$ en $G$. Si $GF = DE,$ demostrar que $AC = BC.$

Sean $AB$ y $CD$ cuerdas de un círculo que se intersectan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La línea tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ intersecta las líneas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] hallar $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altitud. Encuentre el volumen de la parte más pequeña. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altitud. Encuentre la razón del volumen de la parte más pequeña al volumen del cono entero.

El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las líneas $ C_1K$ y $ AC$ se encuentran en $ B_2,$ las líneas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$

Para un entero positivo dado $ k$ denotemos el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$