Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales cada número natural cuya representación decimal tiene $n - 1$ dígitos $1$ y un dígito $7$ es primo.

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes racionales. $q_1$, $q_2$, $q_3$, ... es una secuencia de racionales tal que $q_n = p(q_{n + 1})$ para todo $n$ positivo. Demuestre que para algún $k$, tenemos $q_{n + k} = q_n$ para todo $n$ positivo.

Sea $ {\mathbb Q}^ +$ el conjunto de los números racionales positivos. Construye una función $ f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todo $x$, $y$ en $ {\mathbb Q}^ +$.

Sean $w, x, y, z$ números reales no negativos tales que $wx + xy + yz + zw = 1$. Demuestra que $ \frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\geq \frac {1}{3}$.

Determina todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.

Diez localidades son servidas por dos aerolíneas internacionales de tal manera que existe un servicio directo (sin paradas) entre dos de estas localidades y todos los horarios de las aerolíneas ofrecen servicio de viaje redondo entre las ciudades a las que sirven. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos viajes redondos disjuntos cada uno conteniendo un número impar de aterrizajes.

Sea $n$ un número natural compuesto y $p$ un divisor propio de $n$. Encuentra la representación binaria del número natural más pequeño $N$ tal que \[ \frac{(1 + 2^p + 2^{n-p})N - 1}{2^n}\] es un entero.

Demuestra que todo entero $ k$ mayor que 1 tiene un múltiplo que es menor que $ k^4$ y puede escribirse en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos diferentes.

Sea $ P$ un punto dentro de un tetraedro regular $ T$ de volumen unitario. Los cuatro planos que pasan por $ P$ y son paralelos a las caras de $ T$ particionan $ T$ en 14 piezas. Sea $ f(P)$ el volumen conjunto de aquellas piezas que no son ni un tetraedro ni un paralelepípedo (es decir, piezas adyacentes a una arista pero no a un vértice). Encuentra las cotas exactas para $ f(P)$ cuando $ P$ varía sobre $ T.$

Sean $ a, b \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq a \leq b,$ y $ M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Define una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ por\n\[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \\\nn - b, & \text{si } n >M. \end{cases}\n\]\nSea $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentra el número natural más pequeño $ k$ tal que $ f^k(0) = 0.$