Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros que satisfacen las ecuaciones $ a + b = c$ y $a^2 + b^3 = c^2$

Los puntos $D, E, F$ se encuentran respectivamente en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ del triángulo ABC tal que $F B = BD$ , $DC = CE$ , y las líneas $EF$ y $BC$ son paralelas. La tangente al círculo circunscrito del triángulo $DEF$ en el punto $F$ interseca la línea $AD$ en el punto $P$ . La bisectriz perpendicular del segmento $EF$ interseca el segmento $AC$ en $Q$ . Demuestre que las líneas $P Q$ y $BC$ son paralelas.

El número $2022$ está escrito en la pizarra. En cada paso, reemplazamos uno de los $2$ dígitos con el número $2022$ . Por ejemplo $$2022 \Rightarrow 2020222 \Rightarrow 2020220222 \Rightarrow ...$$ ¿Después de cuántos pasos se puede escribir en la pizarra un número divisible por $22$? Especifique todas las opciones.

Determine el mayor valor posible de la expresión $ab+bc+ 2ac$ para números reales no negativos $a, b, c$ cuya suma es $1$ .

Un entero $n\ge1$ es bueno si se satisface la siguiente propiedad: Si un entero positivo es divisible por cada uno de los nueve números $n + 1, n + 2, ..., n + 9$ , este también es divisible por $n + 10$ . ¿Cuántos enteros buenos son $n\ge 1$ ?

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con la propiedad de que $\frac{a}{b} > \sqrt2$ . Demuestre que $$\frac{a}{b} - \frac{1}{2ab} > \sqrt2$$

Se da un pentágono convexo $ABCDE$ en el que $\angle A = 60^o$ , $\angle B = 100^o$ , $\angle C = 140^o$ . Demuestre que este pentágono se puede colocar en un círculo con un radio de $\frac23 AD$ .

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en números enteros: $$\begin{cases} x^2 = yz + 1 \ y^2 = zx + 1 \ z^2 = xy + 1 \end{cases}$$

Sea $n\ge 3$ . Suponga que $a_1, a_2, ... , a_n$ son $n$ números reales distintos en parejas. En términos de $n$ , encuentre el menor número posible de diferentes valores asumidos por los siguientes $n$ números: $$a_1 + a_2, a_2 + a_3,..., a_{n- 1} + a_n, a_n + a_1$$

Demuestre que en el plano de coordenadas es imposible dibujar una línea poligonal cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice son racionales; (ii) la longitud de cada uno de sus lados es 1; (iii) la línea tiene un número impar de vértices.