Sea $n \geq 2$ un entero fijo. Hallar la menor constante $C$ tal que la desigualdad \[\sum_{i<j} x_{i}x_{j} \left(x^{2}_{i}+x^{2}_{j} \right) \leq C \left(\sum_{i}x_{i} \right)^4\] se cumple para cualesquiera $x_{1}, \ldots ,x_{n} \geq 0$ (la suma de la izquierda consta de $\binom{n}{2}$ sumandos). Para esta constante $C$, caracterizar las instancias de igualdad.

Un conjunto $S$ de puntos del espacio se llamará completamente simétrico si tiene al menos tres elementos y cumple la condición de que para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ de $S$, el plano bisector perpendicular del segmento $AB$ es un plano de simetría para $S$. Demostrar que si un conjunto completamente simétrico es finito, entonces consta de los vértices de un polígono regular, o de un tetraedro regular o de un octaedro regular.

Sean $p$ y $q$ enteros positivos relativamente primos. Un subconjunto $S$ de $\{0, 1, 2, \ldots\}$ se llama ideal si $0 \in S$ y para cada elemento $n \in S$, los enteros $n + p$ y $n + q$ pertenecen a $S$. Determina el número de subconjuntos ideales de $\{0, 1, 2, \ldots\}$.

En el plano tenemos $n$ rectángulos con lados paralelos. Los lados de rectángulos distintos se encuentran en líneas distintas. Las fronteras de los rectángulos cortan el plano en regiones conexas. Una región es *buena* si tiene al menos uno de los vértices de los $n$ rectángulos en la frontera. Demuestra que la suma de los números de los vértices de todas las regiones buenas es menor que $40n$. (Puede haber regiones no convexas, así como regiones con más de una curva frontera.)

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $ (a,m,n)$ tales que $ a^m + 1 \mid (a + 1)^n$.

¿Existe un entero positivo $n$ tal que $n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $n$ divide a $2^n + 1$?

Para un entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de todos los divisores positivos de $n$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $d(n)^3=4n$.

Dos círculos $G_1$ y $G_2$ se intersectan en dos puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, de modo que $M$ se encuentra más cerca de $AB$ que $N$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ y que pasa por el punto $M$, con $C$ en $G_1$ y $D$ en $G_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$; las líneas $AN$ y $CD$ se encuentran en $P$; las líneas $BN$ y $CD$ se encuentran en $Q$. Demuestra que $EP = EQ$.

Encuentre todos los enteros $n \ge 4$ con la siguiente propiedad: Cada campo de la tabla de $n \times n$ se puede pintar de blanco o negro de tal manera que cada cuadrado de esta tabla tenga el mismo color que exactamente los dos cuadrados adyacentes. (Los cuadrados son adyacentes si tienen exactamente un lado en común). ¿Cuántas coloraciones diferentes de los campos de la tabla de $6 \times 6$ cumplen las condiciones anteriores?

Dado un nonágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9$ con longitud de lado $1$ . Las diagonales $A_3A_7$ y $A_4A_8$ se intersecan en el punto $P$ . Encuentre la longitud del segmento $P A_1$ .