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La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. byk7 204 publicaciones byk7 #1 h 27 de ago. de 2025, 6:09 a. m. • 2 Y Y por cubres, kokos Sea $\mathbb R^+$ el conjunto de los números reales positivos. Sea $f \colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ una función tal que para todo $x,y\in\mathbb{R}^+$ se cumple que \[ yf^{2025}(x) \geq xf(y)\,. \] Demuestre que existe un entero positivo $n_0$ tal que para todo entero $n\geq n_0$ y para todo $x>0$ se cumple que \[f^n(x)\geq x.\] (Aquí, $f^n$ significa la composición de $f$ aplicada $n$ veces.) Z K Y
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1998 Apmo 1998 P2
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 9:26 a. m. • 5 Y Y por Understandingmathematics, Adventure10, Mango247, ItsBesi y otro usuario más. Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$, $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$. Z K Y
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2012 Lusophon Mathematical Olympiad 2012 P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 922 publicaciones mathisreal #1 h 9 de enero de 2018, 2:21 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 5) Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: un jugador escribe, en un tablero, un entero positivo $n$, después de esto borran un número en el tablero y escriben un nuevo número que puede ser: i) El último número $p$, donde el nuevo número será $p - 2^k$ donde $k$ es el número más grande tal que $p\ge 2^k$ ii) El último número $p$, donde el nuevo número será $\frac{p}{2}$ si $p$ es par. Los jugadores juegan alternadamente, un jugador gana si el nuevo número es igual a $0$ y el jugador $A$ comienza. a) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 40$? b) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 2012$? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 9 de enero de 2018, 2:27 PM Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. byk7 204 publicaciones byk7 #1 h 27 de agosto de 2025, 6:13 a. m. • 1 Y Y por cubres En una cuadrícula cuadrada infinita, en la cual algunos cuadrados unitarios están coloreados de rojo, una torre de rubí es una pieza que, en un movimiento, puede desplazarse cualquier número de cuadrados en una dirección paralela a una de las líneas de la cuadrícula (ya sea vertical u horizontalmente), mientras permanece en cuadrados rojos en todo momento durante el movimiento. Comenzando con una cuadrícula cuadrada infinita sin colorear, Alice realiza el siguiente procedimiento: - Primero, colorea como máximo 2025 de los cuadrados unitarios de rojo. - Después, coloca algunas torres de rubí en cuadrados unitarios rojos distintos, de tal manera que se cumplan las siguientes dos reglas: (i) ninguna torre de rubí puede alcanzar a otra torre de rubí en un movimiento, (ii) cada torre de rubí puede alcanzar a cualquier otra torre de rubí en dos movimientos. Encuentre el número máximo posible de torres de rubí que Alice puede colocar durante este procedimiento. Propuesto por Mark Neumann, Suiza. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por byk7, 30 de agosto de 2025, 5:54 a. m. Motivo: autor Z K Y
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1998 Apmo 1998 P1
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 9:22 a. m. • 4 Y Y por huythdnbkltv, Adventure10, mathematicsy, Mango247 Sea $F$ el conjunto de todas las $n$-tuplas $(A_1, \ldots, A_n)$ tales que cada $A_{i}$ es un subconjunto de $\{1, 2, \ldots, 1998\}$. Sea $|A|$ el número de elementos del conjunto $A$. Encuentre \[ \sum_{(A_1, \ldots, A_n)\in F} |A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n| \] Z K Y
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2012 Lusophon Mathematical Olympiad 2012 P2
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de agosto de 2018, 6:51 PM • 1 Y Y por Adventure10 María tiene un tablero de tamaño $n \times n$, inicialmente con todas las casillas pintadas de blanco. María decide pintar de negro algunas casillas del tablero, formando un mosaico, como se muestra en la figura a continuación, de la siguiente manera: pinta de negro todas las casillas del borde del tablero y luego deja blancas las casillas que aún no han sido pintadas. Luego, pinta de negro las casillas del borde del siguiente tablero restante, y así sucesivamente. a) Determine un valor de $n$ tal que el número de casillas negras sea igual a $200$. b) Determine el valor más pequeño de $n$ tal que el número de casillas negras sea mayor que $2012$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 30 de agosto de 2018, 4:26 AM Razón: mejor traducción, gracias tode Z K Y
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2023 Greece National Olympiad P4
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. euclides05 66 publicaciones euclides05 #1 h 19 de feb. de 2023, 8:17 a. m. Y por Una clase consta de 26 estudiantes con dos estudiantes sentados en cada pupitre. De repente, los estudiantes deciden cambiar de asiento, de tal manera que cada dos estudiantes que estaban sentados juntos anteriormente ahora están separados. Encuentre el valor máximo del entero positivo $N$ tal que, independientemente de las posiciones de asiento de los estudiantes, al final existe un conjunto $S$ que consta de $N$ estudiantes que satisface la siguiente propiedad: cada dos de ellos nunca han estado sentados juntos. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por euclides05, 19 de feb. de 2023, 8:20 a. m. Z K Y
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2012 Lusophon Mathematical Olympiad 2012 P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 922 publicaciones mathisreal #1 h 20 de enero de 2018, 1:34 PM • 3 Y Y por xdiegolazarox, Adventure10, EuclideanCarrot Sea $n$ un entero positivo, los jugadores A y B juegan el siguiente juego: tenemos $n$ bolas con los números $1, 2, 3, 4,...., n$, estas bolas estarán en dos cajas con los símbolos $\prod$ y $\sum$. En su turno, el jugador puede elegir una bola y colocarla en alguna caja; al final, todas las bolas de la caja $\prod$ se multiplican y obtendremos un número $P$, después de esto, todas las bolas de la caja $\sum$ se suman y obtendremos un número $Q$ (si la caja $\prod$ está vacía $P = 1$, si la caja $\sum$ está vacía $Q = 0$). Los jugadores juegan alternativamente, el jugador A comienza; si $P + Q$ es par, el jugador A gana, de lo contrario, el jugador B gana. a) Si $n = 6$, ¿qué jugador tiene la estrategia ganadora? b) Si $n = 2012$, ¿qué jugador tiene la estrategia ganadora? Z K Y
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1998 Apmo 1998 P3
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 9:24 a. m. • 5 Y Y por Adventure10, ImSh95, Mango247 y otros 2 usuarios Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos. Demuestre que \[ \biggl(1+\frac{a}{b}\biggr) \biggl(1+\frac{b}{c}\biggr) \biggl(1+\frac{c}{a}\biggr) \ge 2 \biggl(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\biggr). \] Z K Y
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2012 Lusophon Mathematical Olympiad 2012 P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de ago. de 2018, 5:11 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una hormiga decide caminar sobre el perímetro de un triángulo $ABC$. La hormiga puede comenzar en cualquier vértice. Siempre que la hormiga está en un vértice, elige uno de los vértices adyacentes y camina directamente (en línea recta) hacia el vértice elegido. a) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente dos veces? b) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente tres veces? Nota: Para cada inciso, considere que se visita el vértice de inicio. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 29 de ago. de 2018, 5:11 p. m. Razón: error tipográfico Z K Y
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