La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 12 de nov. de 2008, 9:36 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ A_1,A_2,...,A_{2002}$ puntos arbitrarios en el plano. Demuestre que para todo círculo de radio $ 1$ y para todo rectángulo inscrito en este círculo, existen $3$ vértices $ M,N,P$ del rectángulo tales que $ MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2002} + $ $NA_1 + NA_2 + \cdots + NA_{2002} + $ $PA_1 + PA_2 + \cdots + PA_{2002}\ge 6006$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 25 de sep. de 2010, 12:31 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Cuántas soluciones reales existen para la ecuación $x = 1964 \sin x - 189$ ? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de sep. de 2010, 1:05 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determine el mayor número posible de círculos que sean tangentes a ambos círculos y que no se intersecten entre sí. Demuestre que este número se encuentra entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. byk7 204 publicaciones byk7 #1 h 27 de agosto de 2025, 6:13 a. m. • 1 Y Y por cubres En una cuadrícula cuadrada infinita, en la cual algunos cuadrados unitarios están coloreados de rojo, una torre de rubí es una pieza que, en un movimiento, puede desplazarse cualquier número de cuadrados en una dirección paralela a una de las líneas de la cuadrícula (ya sea vertical u horizontalmente), mientras permanece en cuadrados rojos en todo momento durante el movimiento. Comenzando con una cuadrícula cuadrada infinita sin colorear, Alice realiza el siguiente procedimiento: - Primero, colorea como máximo 2025 de los cuadrados unitarios de rojo. - Después, coloca algunas torres de rubí en cuadrados unitarios rojos distintos, de tal manera que se cumplan las siguientes dos reglas: (i) ninguna torre de rubí puede alcanzar a otra torre de rubí en un movimiento, (ii) cada torre de rubí puede alcanzar a cualquier otra torre de rubí en dos movimientos. Encuentre el número máximo posible de torres de rubí que Alice puede colocar durante este procedimiento. Propuesto por Mark Neumann, Suiza. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por byk7, 30 de agosto de 2025, 5:54 a. m. Motivo: autor Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FrancoGiosefAG 154 publicaciones FrancoGiosefAG #1 h 9 de junio de 2025, 5:15 PM • 1 Y Y por RAYONPOBRE Luna y sus amigos están jugando con agua. Tienen $n$ jarras vacías con capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1,2,\dots,m$ de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1\leq i \leq m$. Sus amigos verterán el agua de las botellas en las jarras siguiendo estas reglas: 1. Al comienzo del juego, las $n$ botellas más pequeñas comienzan a vaciarse simultáneamente en las $n$ jarras, una botella por jarra. 2. Cuando una botella termina de vaciarse, la siguiente botella más pequeña que aún está llena comienza a vaciarse en esa misma jarra. Si no hay más botellas disponibles para comenzar a vaciarse, Luna inicia su cronómetro. El resto de las botellas continúan vaciándose. 3. Luna detiene el cronómetro cuando todas las botellas están vacías. \end{itemize} ¿Qué tiempo mostrará el cronómetro de Luna cuando lo detenga? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por FrancoGiosefAG, 9 de junio de 2025, 5:28 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 12 de nov. de 2008, 7:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Números reales positivos están dispuestos de la forma: $ 1 \ \ \ 3 \ \ \ 6 \ \ \ 10 \ \ \ 15 ...$ $ 2 \ \ \ 5 \ \ \ 9 \ \ \ 14 ...$ $ 4 \ \ \ 8 \ \ \ 13 ...$ $ 7 \ \ \ 12 ...$ $ 11 ...$ Encuentre el número de fila y columna donde se encuentra el número 2002. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 8:59 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados $5$ puntos en un plano, sin que tres de ellos sean colineales. Cada par de estos $5$ puntos se une con un segmento, y cada uno de estos segmentos se pinta de rojo o de azul; suponga que no existe ningún triángulo cuyos lados sean segmentos del mismo color. a.) Demuestre que: (1) Entre los cuatro segmentos que se originan en cualquiera de los $5$ puntos, dos son rojos y dos son azules. (2) Los segmentos rojos forman un camino cerrado que pasa por los $5$ puntos dados. (De manera similar para los segmentos azules). b.) Proponga un plan sobre cómo pintar los segmentos de rojo o de azul para que se cumpla la condición (ningún triángulo con lados del mismo color). Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 12 de nov. de 2008, 8:08 a. m. • 5 Y Y por andreiromania, viterick, YusupTKM, Adventure10, Mango247 Considere los enteros $ a_i,i=\overline{1,2002}$ tales que $ a_1^{ - 3} + a_2^{ - 3} + \ldots + a_{2002}^{ - 3} = \frac {1}{2}$ Demuestre que al menos 3 de los números son iguales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 12 de nov. de 2008, 8:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a_1,a_2,...,a_6$ números reales tales que: $ a_1 \not = 0, a_1a_6 + a_3 + a_4 = 2a_2a_5 \ \mathrm{y}\ a_1a_3 \ge a_2^2$ Demuestre que $ a_4a_6\le a_5^2$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 8 de octubre de 2017, 5:27 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, lian_the_noob12 Sea ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ un círculo con centro ${O}$ y radio ${R}$ y sean ${A, B}$ dos puntos en él, que no pertenecen al mismo diámetro. La bisectriz del ángulo ${\angle{ABO}}$ corta al círculo ${c}$ en el punto ${C}$, al circuncírculo del triángulo $AOB$, denotado como ${c_1}$, en el punto ${K}$ y al circuncírculo del triángulo $AOC$, denotado como ${{c}_{2}}$, en el punto ${L}$. Demuestre que el punto ${K}$ está en el circuncírculo del triángulo $AOC$ y que el punto ${L}$ es el incentro del triángulo $AOB$. Evangelos Psychas (Grecia) Z K Y