Sea ABC un triángulo escaleno. Considera los puntos D, E, F en los segmentos AB, BC, CA, respectivamente, tales que $\overline{AF}$ = $\overline{DF}$ y $\overline{BE}$ = $\overline{DE}$. Demuestra que el circuncentro de ABC se encuentra en la circunferencia circunscrita de CEF.

Las celdas unitarias de un tablero de 5 x 5 están pintadas con 5 colores de manera que cada celda está pintada por exactamente un color y cada color se usa en 5 celdas. Demuestra que existe al menos una línea o una columna del tablero en la que se utilizaron al menos 3 colores.

Encuentra cuántos múltiplos de 360 son de la forma $\overline{ab2017cd}$, donde a, b, c, d son dígitos, con a > 0.

Determina todos los enteros positivos con más de un dígito, todos distintos, tales que la suma de sus dígitos es igual al producto de sus dígitos.

Sea ABCD un paralelogramo, E el punto medio de AD y F la proyección de B sobre CE. Demuestra que el triángulo ABF es isósceles.

En una prueba de matemáticas, hay preguntas fáciles y difíciles. Las preguntas fáciles valen 3 puntos y las preguntas difíciles valen D puntos. Si todas las preguntas empiezan a valer 4 puntos, la puntuación total de la prueba aumenta 16 puntos. En cambio, si intercambiamos las puntuaciones de las preguntas, puntuando D puntos para las preguntas fáciles y 3 para las difíciles, la puntuación total de la prueba se multiplica por $\frac{3}{2}$. Sabiendo que el número de preguntas fáciles es 9 veces mayor que el número de preguntas difíciles, encuentra el número de preguntas en esta prueba.

Hallar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que \[f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1\] para todo $x,y \in \mathbb{R} $.

Dos círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ tocan internamente el círculo $\Omega$ en M y N y el centro de $\Omega_{2}$ está en $\Omega_{1}$. La cuerda común de los círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ interseca a $\Omega$ en $A$ y $B$. $MA$ y $MB$ intersecan a $\Omega_{1}$ en $C$ y $D$. Demostrar que $\Omega_{2}$ es tangente a $CD$.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(x,p)$ tales que $p$ es un primo, $x \leq 2p$ y $x^{p-1}$ es un divisor de $ (p-1)^{x}+1$.

Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero de $n \times n$ son vecinas si tienen un lado común. Encontrar el número mínimo de celdas en el tablero de $n \times n$ que deben ser marcadas para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.