La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 6:16 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Cuál es el número máximo de regiones en las que se puede dividir un círculo mediante segmentos que unen $n$ puntos en la frontera del círculo? Creo que ya se publicó en el foro... Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 25 de sep. de 2010, 12:31 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Cuántas soluciones reales existen para la ecuación $x = 1964 \sin x - 189$ ? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FrancoGiosefAG 154 publicaciones FrancoGiosefAG #1 h 9 de junio de 2025, 5:22 PM • 1 Y Y por RAYONPOBRE Los conjuntos $A,B,C$ y $D$ satisfacen las siguientes condiciones: 1. Sus elementos son enteros del 1 al 20. 2. Cada conjunto tiene cuatro elementos, y ningún número aparece en más de un conjunto. 3. Sean $P_a, P_b, P_c, P_d$ el producto de los números en los conjuntos $A, B, C$ y $D$ respectivamente, y sean $Q_a,Q_b,Q_c,Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a,P_b,P_c$ y $P_d$ respectivamente. Se cumple que: \[P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d \quad \text{y} \quad \gcd(Q_a, Q_b) \cdot \gcd(Q_c, Q_d) \leq 3.\] ¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos? Nota: $\gcd$ representa el máximo común divisor. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por FrancoGiosefAG, 9 de junio de 2025, 5:28 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 12 de nov. de 2008, 8:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a_1,a_2,...,a_6$ números reales tales que: $ a_1 \not = 0, a_1a_6 + a_3 + a_4 = 2a_2a_5 \ \mathrm{y}\ a_1a_3 \ge a_2^2$ Demuestre que $ a_4a_6\le a_5^2$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 6:29 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $ ''.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 8:27 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Las longitudes de los lados $a_{1},$ $b_{1},$ $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Por lo tanto, $a=BC,$ $b=CA,$ $c=AB,$ $a_{1}=B_{1}C_{1},$ $b_{1}=C_{1}A_{1},$ $c_{1}=A_{1}B_{1}.$] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}.$ Demuestre que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son semejantes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ahaanomegas, 26 de dic. de 2014, 3:29 p. m. Razón: He cambiado la redacción del problema ya que las condiciones dadas en el original no eran suficientes, al menos no en la forma en que estaban escritas. - darij Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de mar. de 2020, 9:03 a. m. • 2 Y Y por Math_olympics, Mango247 Resuelva la ecuación $a + b + 4 = 4\sqrt{a\sqrt{b}}$ en números reales Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 17 de sep. de 2022, 2:27 p. m. • 2 Y Y por Mango247, FrancoGiosefAG Todos los cuadrados de un tablero de $2022 \times 2022$ serán coloreados de blanco o negro. Se colocarán fichas en varias de estas casillas, a lo sumo una por casilla. Decimos que dos fichas se atacan entre sí cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: a) Existe un camino de cuadrados que une los cuadrados donde se colocaron las piezas. Este camino puede tener una dirección horizontal, vertical o diagonal. b) Todos los cuadrados en este camino, incluyendo los cuadrados donde están las piezas, son del mismo color. Por ejemplo, la siguiente figura muestra un pequeño ejemplo de una posible coloración de un tablero de $6 \times 6$ con las fichas $A, B, C, D$ y $E$ colocadas. Los pares de fichas que se atacan entre sí son $(D, E)$, $(C, D)$ y $(B, E)$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/0/52ec7b7d1c02e266b666e4f8b25e87c58f0c89.png ¿Cuál es el valor máximo de $k$ tal que es posible colorear el tablero y colocar $k$ fichas sin que ninguna de ellas ataque a otra? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 17 de sep. de 2022, 2:28 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 4:16 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, ItsBesi Dados $n$ números positivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ tales que $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}=1.$ Demuestre que \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{n}\right) \geq 2^{n}.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de sep. de 2010, 7:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos paredes de espejo están colocadas para formar un ángulo de medida $\alpha$. Hay una vela dentro del ángulo. ¿Cuántas reflexiones de la vela puede ver un observador? Z K Y