Sea $A B C$ un triángulo acutángulo de incentro $I$, circuncentro $O$ e inradio $r.$ Sea $\omega$ el círculo inscrito del triángulo $A B C$. $A_1$ es el punto de $\omega$ tal que $A IA_1O$ es un trapecio convexo de bases $A O$ e $IA_1$. Sea $\omega_1$ el círculo de radio $r$ que pasa por $A_1$, es tangente a la línea $A B$ y es diferente de $\omega$. Sea $\omega_2$ el círculo de radio $r$ que pasa por $A_1$, es tangente a la línea $A C$ y es diferente de $\omega$. Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en los puntos $A_1$ y $A_2$. Similarmente se definen los puntos $B_2$ y $C_2$. Demostrar que las líneas $A A_2, B B_2$ y $CC2$ son concurrentes.

Para un número entero positivo $n$ denotamos $d(n)$ como el máximo común divisor de los coeficientes binomiales $\binom{n+1}{n} , \binom{n+2}{n} ,..., \binom{2n}{n}$. Encontrar todos los valores posibles de $d(n)$

Tienes un tablero de $9 \times 9$ con casillas blancas. Una ficha se puede mover de una casilla a otra vecina (casillas que comparten un lado). Si pintamos algunas casillas de negro, decimos que tal coloración es buena si hay una casilla blanca donde podemos colocar una ficha que moviéndose a través de casillas blancas puede regresar a la casilla inicial habiendo pasado por al menos $3$ casillas, sin pasar por la misma casilla dos veces. Encontrar el valor más alto posible de $k$ tal que cualquier forma de pintar $k$ casillas de negro son una coloración buena.

Decimos que un número entero $n \ge 1$ es conservador, si el divisor primo más pequeño de $(n!)^n+1$ es a lo sumo $n+2015$. Decidir si el número de números conservadores es infinito o no.

Sean $a , b , c$ enteros positivos, coprimos. Para cada número entero $n \ge 1$, denotamos por $s(n)$ el número de elementos en el conjunto $\{a, b, c\}$ que dividen a $n$. Consideramos $k_1< k_2< k_3<...$ la secuencia de todos los enteros positivos que son divisibles por algún elemento de $\{a, b, c\}$. Finalmente definimos la secuencia característica de $(a, b, c)$ como la sucesión $s(k_1), s(k_2), s(k_3), ....$. Demostrar que si las secuencias características de $(a, b, c)$ y $(a', b', c')$ son iguales, entonces $a = a', b = b'$ y $c=c'$

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en el lado $BC$. Sea $S_1$ la circunferencia con centro $B$ y radio $BP$ que corta el lado $AB$ en $D$ tal que $D$ está entre $A$ y $B$. Sea $S_2$ la circunferencia con centro $C$ y radio $CP$ que corta el lado $AC$ en $E$ tal que $E$ está entre $A$ y $C$. La línea $AP$ corta a $S_1$ y $S_2$ en $X$ e $Y$ diferentes de $P$, respectivamente. Llamamos $T$ al punto de intersección de $DX$ e $EY$. Demostrar que $\angle BAC+ 2 \angle DTE=180$

Determina todos los enteros $n\ge1$ para los cuales el número $n^8+n^6+n^4+4$ es primo. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

Considera un tablero de ajedrez de $25\times25$ con celdas $C(i,j)$ para $1\le i,j\le25$. Encuentra el menor número posible $n$ de colores con los que se pueden colorear estas celdas sujeto a la siguiente condición: Para $1\le i<j\le25$ y para $1\le s<t\le25$, las tres celdas $C(i,s)$, $C(j,s)$, $C(j,t)$ tienen al menos dos colores diferentes. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=3$. Demuestra que \[ \sqrt{\frac{b}{a^2+3}}+ \sqrt{\frac{c}{b^2+3}}+ \sqrt{\frac{a}{c^2+3}} ~\le~ \frac32\sqrt[4]{\frac{1}{abc}}\]

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ con $BC$. Sea $T$ el punto de intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $A$ con la recta que pasa por $B$ y $C$. Sea $I$ el punto de intersección de la recta ortogonal a $AT$ que pasa por el punto $D$ con la altura $h_a$ del triángulo en el punto $A$. Sea $P$ el punto medio de $AB$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AB$ y $TI$, y sea $F$ el punto de intersección de $PT$ y $AD$. Demuestra que $MF$ y $AO$ son ortogonales entre sí.