Hay el número $1$ en la pizarra al principio. Si el número $a$ está escrito en la pizarra, entonces también podemos escribir un número natural $b$ tal que $a + b + 1$ es un divisor de $a^2 + b^2 + 1$. ¿Puede aparecer cualquier entero positivo en la pizarra después de un cierto tiempo? Justifica tu respuesta.

El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo con centro $M$ que pasa por el punto $C$, interseca las líneas $AC ,BC$ por segunda vez en los puntos $P,Q$ respectivamente. El punto $R$ se encuentra en el segmento $AB$ de tal manera que los triángulos $APR$ y $BQR$ tienen áreas iguales. Demuestra que las líneas $PQ$ y $CR$ son perpendiculares.

Encuentra todos los enteros $n$ cuando $|n^3 - 4n^2 + 3n - 35|$ y $|n^2 + 4n + 8|$ son números primos.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle BAD<90^o$ y $AB> BC$. La bisectriz del ángulo $BAD$ interseca la línea $CD$ en el punto $P$ y la línea $BC$ en el punto $Q$. Demuestra que el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo $CPQ$ es equidistante de los puntos $B$ y $D$.

El conjunto de $\{1,2,3,...,63\}$ se dividió en tres conjuntos no vacíos disjuntos $A,B$. Sean $a,b,c$ el producto de todos los números en cada conjunto $A,B,C$ respectivamente y finalmente hemos determinado el máximo común divisor de estos tres productos. ¿Cuál fue el resultado más grande que pudimos obtener?

Se da un cuadrado. Las líneas lo dividen en $n$ polígonos. ¿Cuál es la suma más grande posible de los ángulos internos de todos los polígonos?

El número $a_n$ se forma escribiendo en sucesión, sin espacios, los números $1, 2, ..., n$ (por ejemplo, $a_{11} = 1234567891011$). Encuentra el número $t$ más pequeño tal que $11 | a_t$.

Tenemos $10$ fichas idénticas como se muestra. Las fichas se pueden rotar, pero no voltear. Un tablero de $7 \times 7$ debe cubrirse con estas fichas de modo que exactamente un cuadrado unitario esté cubierto por dos fichas y todos los demás campos por una ficha. Designa todos los cuadrados unitarios que pueden cubrirse con dos fichas.

Resuelve la ecuación $a + b + 4 = 4\sqrt{a\sqrt{b}}$ en números reales.

En el plano, los círculos $k$ y $\ell$ se intersecan en los puntos $C$ y $D$, donde el círculo $k$ pasa por el centro $L$ del círculo $\ell$. La línea recta que pasa por el punto $D$ interseca los círculos $k$ y $\ell$ por segunda vez en los puntos $A$ y $B$ respectivamente, de tal manera que $D$ es el punto interior del segmento $AB$. Demuestra que $AB = AC$.