Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos pares de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez: Tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tal que $A$ es amigo tanto de $B$ como de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian sus estados de amistad tal que $B$ y $C$ son ahora amigos, pero $A$ ya no es amigo de $B$ y ya no es amigo de $C$. Todos los demás estados de amistad se mantienen sin cambios. Inicialmente, $1010$ usuarios tienen $1009$ amigos cada uno, y $1009$ usuarios tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestra que existe una secuencia de tales eventos después de que cada usuario es amigo de a lo sumo otro usuario.

La secuencia infinita $a_0, a _1, a_2, \dots$ de enteros (no necesariamente distintos) tiene las siguientes propiedades: $0\le a_i \le i$ para todos los enteros $i\ge 0$ , y\n\[\binom{k}{a_0} + \binom{k}{a_1} + \dots + \binom{k}{a_k} = 2^k\] para todos los enteros $k\ge 0$ . Demuestre que todos los enteros $N\ge 0$ ocurren en la secuencia (es decir, para todo $N\ge 0$ , existe $i\ge 0$ con $a_i=N$ ).

Sea $\mathbb Z$ el conjunto de los enteros. Consideramos funciones $f :\mathbb Z\to\mathbb Z$ que satisfacen\n\[f\left(f(x+y)+y\right)=f\left(f(x)+y\right)\] para todos los enteros $x$ e $y$ . Para tal función, decimos que un entero $v$ es f-raro si el conjunto\n\[X_v=\{x\in\mathbb Z:f(x)=v\}\] es finito y no vacío.\n(a) Demuestre que existe tal función $f$ para la cual hay un entero $f$ - raro.\n(b) Demuestre que ninguna función $f$ puede tener más de un entero $f$ - raro.

Un polinomio $P(x, y, z)$ en tres variables con coeficientes reales satisface las identidades\n$$P(x, y, z)=P(x, y, xy-z)=P(x, zx-y, z)=P(yz-x, y, z).$$ Demuestre que existe un polinomio $F(t)$ en una variable tal que $$P(x,y,z)=F(x^2+y^2+z^2-xyz).$$

Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales diferentes. Demuestre que \[\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\left\{\begin{array}{ll}\n0, & \text { si } n \text { es par; } \\\n1, & \text { si } n \text { es impar. }\n\end{array}\right.\]

En un plano llano en Camelot, el Rey Arturo construye un laberinto $\mathfrak{L}$ que consiste de $n$ muros, cada uno de los cuales es una línea recta infinita. No hay dos muros paralelos, y no hay tres muros que tengan un punto en común. Merlín entonces pinta un lado de cada muro completamente de rojo y el otro lado completamente de azul. En la intersección de dos muros hay cuatro esquinas: dos esquinas diagonalmente opuestas donde un lado rojo y un lado azul se encuentran, una esquina donde dos lados rojos se encuentran, y una esquina donde dos lados azules se encuentran. En cada intersección, hay una puerta bidireccional que conecta las dos esquinas diagonalmente opuestas en las cuales lados de diferentes colores se encuentran. Después de que Merlín pinta los muros, Morgana entonces coloca algunos caballeros en el laberinto. Los caballeros pueden caminar a través de puertas, pero no pueden caminar a través de muros. Sea $k(\mathfrak{L})$ el número más grande $k$ tal que, no importa cómo Merlín pinte el laberinto $\mathfrak{L}$, Morgana siempre puede colocar al menos $k$ caballeros tal que ninguno de ellos se pueda encontrar. Para cada $n$, ¿cuáles son todos los valores posibles para $k(\mathfrak{L})$, donde $\mathfrak{L}$ es un laberinto con $n$ muros?

El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ de estas monedas dispuestas en una línea de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k>0$ monedas mostrando $H$, entonces él voltea la moneda número $k$ desde la izquierda; de lo contrario, todas las monedas muestran $T$ y él se detiene. Por ejemplo, si $n=3$ el proceso comenzando con la configuración $THT$ sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, que se detiene después de tres operaciones.\n(a) Muestra que, para cada configuración inicial, Harry se detiene después de un número finito de operaciones.\n(b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones antes de que Harry se detenga. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determina el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ posibles configuraciones iniciales $C$.

Se te da un conjunto de $n$ bloques, cada uno pesando al menos $1$; su peso total es $2n$. Demuestra que para cada número real $r$ con $0 \leq r \leq 2n-2$ puedes elegir un subconjunto de los bloques cuyo peso total sea al menos $r$ pero a lo sumo $r + 2$.

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$

Determina las fracciones más grandes y más pequeñas $F = \frac{y-x}{x+4y}$ si los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2y^2 + xy + 1 = 3y^2$.