Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen : \[ \frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}\ge \frac{ab}{1+a+b}+\frac{bc}{1+b+c}+\frac{ca}{1+c+a} \] Entonces probar que : \[ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2\ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \]

Se nos da una cerradura de combinación que consta de $6$ discos giratorios. Cada disco consta de los dígitos $0, 1, 2,\ldots , 9$ en ese orden (después del dígito $9$ viene $0$ ) . La cerradura se abre con exactamente una combinación. Un movimiento consiste en girar uno de los discos un dígito en cualquier dirección y la cerradura se abre instantáneamente si la combinación actual es correcta. Los discos se colocan inicialmente en la posición $000000$ , y sabemos que esta combinación no es correcta. a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta? b) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta, si sabemos que ninguna de las combinaciones $000000, 111111, 222222, \ldots , 999999$ es correcta?

Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $ABC$ . Una línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $BC$ y $CA$ en los puntos $L$ y $F$ , respectivamente. Una línea que pasa por $P$ paralela a $BC$ se encuentra con $CA$ y $BA$ en los puntos $M$ y $D$ respectivamente, y una línea que pasa por $P$ paralela a $CA$ se encuentra con $AB$ y $BC$ en los puntos $N$ y $E$ respectivamente. Demostrar que $$ [PDBL] \cdot [PECM] \cdot [PFAN]=8\cdot [PFM] \cdot [PEL] \cdot [PDN] $$

Para $m\in \mathbb{N}$ define $m?$ como el producto de los primeros $m$ primos. Determinar si existen enteros positivos $m,n$ con la siguiente propiedad : \[ m?=n(n+1)(n+2)(n+3) \]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. $P \in (CD), Q \in (AB)$ , $M= AP \cap DQ$ , $N=BP \cap CQ$ , $ K=MN \cap AD$ , $L= MN \cap BC$ . Demuestra que $BL=DK$ .

Sean $C_1,C_2$ dos circunferencias que se intersecan en los puntos $A,P$ con centros $O,K$ respectivamente. Sean $B,C$ los simétricos de $A$ con respecto a $O,K$ en las circunferencias $C_1,C_2 $ respectivamente. Una línea aleatoria que pasa por $A$ interseca a las circunferencias $C_1,C_2$ en $D,E$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEP$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $OKP$ .

Sean $O$ el centro de las circunferencias concéntricas $C_1,C_2$ de radios $3$ y $5$ respectivamente. Sean $A\in C_1, B\in C_2$ y $C$ un punto tal que el triángulo $ABC$ es equilátero. Encuentra la longitud máxima de $ [OC] $.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles $(AB=AC)$ tal que $\angle A< 2 \angle B$ . Sean $D,Z $ puntos en la extensión de la altura $AM$ tal que $\angle CBD = \angle A$ y $\angle ZBA = 90^\circ$ . Sea $E$ la proyección ortogonal de $M$ en la altura $BF$ , y sea $K$ la proyección ortogonal de $Z$ en $AE$ . Demuestra que $ \angle KDZ = \angle KDB = \angle KZB$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular y $M\in (DE)$ , $N\in(CD)$ tal que $m (\widehat {AMN}) = 90^\circ$ y $AN = CM \sqrt {2}$ . Encuentra el valor de $\frac{DM}{ME}$ .

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB=AD=BC, AB//CD, AB>CD$. Sea $E= AC \cap BD$ y $N$ simétrico a $B$ con respecto a $AC$. Demuestra que el cuadrilátero $ANDE$ es cíclico.