Sea $p$ un entero positivo, $p>1.$ Encuentre el número de matrices de $m\times n$ con entradas en el conjunto $\left\{ 1,2,\dots,p\right\} $ y tal que la suma de los elementos en cada fila y cada columna no sea divisible por $p.$

$P(x)$ es un trinomio cuadrático. ¿Qué número máximo de términos iguales a la suma de los dos términos precedentes puede ocurrir en la secuencia $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $ \dots ?$ Propuesto por A. Golovanov

Todos los cuadrados de una tabla de $20\times 20$ están vacíos. Misha* y Sasha** a su vez colocan fichas en cuadrados libres (Misha* comienza). El jugador después de cuyo movimiento hay cuatro fichas en la intersección de dos filas y dos columnas gana. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Propuesto por A. Golovanov

Sean $A'\in(BC),$ $B'\in(CA),C'\in(AB)$ los puntos de tangencia de los excírculos del triángulo $\triangle ABC$ con los lados de $\triangle ABC.$ Sea $R'$ el circunradio del triángulo $\triangle A'B'C'.$ Demuestre que \[ R'=\frac{1}{2r}\sqrt{2R\left(2R-h_{a}\right)\left(2R-h_{b}\right)\left(2R-h_{c}\right)}\] donde, como es habitual, $R$ es el circunradio de $\triangle ABC,$ r es el inradio de $\triangle ABC,$ y $h_{a},h_{b},h_{c}$ son las longitudes de las alturas de $\triangle ABC.$

Dados los números reales positivos $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ tales que $n>2$ y $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=1,$ demuestre que la desigualdad \[ \frac{a_{2}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{1}+n-2}+\frac{a_{1}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{2}+n-2}+\dots+\frac{a_{1}\cdot a_{2}\cdot\dots\cdot a_{n-1}}{a_{n}+n-2}\leq\frac{1}{\left(n-1\right)^{2}}\] se cumple.

Se dan números reales $a,b,c,d$. Resuelve el sistema de ecuaciones (incógnitas $x,y,z,u)$ \[ x^{2}-yz-zu-yu=a\] \[ y^{2}-zu-ux-xz=b\] \[ z^{2}-ux-xy-yu=c\] \[ u^{2}-xy-yz-zx=d\]

En un estanque hay $n \geq 3$ piedras dispuestas en un círculo. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden y luego colocar algunos sapos en las piedras. Una vez que todos los sapos están ubicados, comienzan a saltar en el sentido de las agujas del reloj, de acuerdo con la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada con el número $k$ , espera $k$ minutos y luego salta a la piedra adyacente. ¿Cuál es el mayor número de sapos para el cual la princesa puede etiquetar las piedras y colocar los sapos de tal manera que en ningún momento dos sapos ocupen una piedra al mismo tiempo? Nota: Se considera que una piedra está ocupada por dos sapos al mismo tiempo solo si hay dos sapos que están en la piedra durante al menos un minuto.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,\ B$ y $C$ . Sea $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la tangente por $D$ a $\Gamma$ . Sean $P, Q$ y $R$ los puntos de intersección de $B C$ con $\ell$ , de $A P$ con $\Gamma$ tal que $Q \neq A$ y de $Q D$ con la $A$ - altura del triángulo $ABC$ , respectivamente. Definir $S$ como la intersección de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la intersección de $A C$ con $\ell$ . Demostrar que $S$ y $T$ se encuentran en la circunferencia que pasa por $A, Q$ y $R$ .

Un número de cuatro dígitos $n=\overline{a b c d}$ , donde $a, b, c$ y $d$ son dígitos, con $a \neq 0$ , se dice que es guanaco si el producto $\overline{a b} \times \overline{c d}$ es un divisor positivo de $n$ . Encuentra todos los números guanaco.

Sean $a,\ b$ y $c$ números reales positivos tales que $a b+b c+c a=1$ . Demostrar que $$\frac{a^3}{a^2+3 b^2+3 a b+2 b c}+\frac{b^3}{b^2+3 c^2+3 b c+2 c a}+\frac{c^3}{c^2+3 a^2+3 c a+2 a b}>\frac{1}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)^2} .$$