Sea $n$ un entero positivo y $G$ un grupo finito de orden $n.$ Una función $f:G \to G$ tiene la propiedad $(P)$ si $f(xyz)=f(x)f(y)f(z)~\forall~x,y,z \in G.$ $\textbf{(a)}$ Si $n$ es impar, demuestra que toda función que tenga la propiedad $(P)$ es un endomorfismo. $\textbf{(b)}$ Si $n$ es par, ¿es la conclusión de $\textbf{(a)}$ todavía cierta?

Sea $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ una función continua con $f(0)>0$ y que tiene la propiedad $$x-y<f(y)-f(x) \le 0~\forall~0 \le x<y.$$ Demuestra que: $a)$ Existe un único $\alpha \in (0, \infty)$ tal que $(f \circ f)(\alpha)=\alpha.$ $b)$ La sucesión $(x_n)_{n \ge 1},$ definida por $x_1 \ge 0$ y $x_{n+1}=f(x_n)~\forall~n \in \mathbb{N}$ es convergente.

Sea $n$ un número natural impar y $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dos matrices tales que $(A-B)^2=O_n.$ Demuestra que $\det(AB-BA)=0.$

Sea $n \in \mathbb{N},n \ge 2,$ y $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$ Demuestra que existe un número complejo $z,$ tal que $|z|=1$ y $$\Re \left( {\det(A+zB)} \right) \ge \det(A)+\det(B),$$ donde $\Re(w)$ es la parte real del número complejo $w.$

Sea $(a_n)_{n \ge 1}$ una sucesión de números reales positivos tal que la sucesión $(a_{n+1}-a_n)_{n \ge 1}$ es convergente a un número real no nulo. Evalúa el límite $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} \right)^n.$$

Encuentra el número real positivo más pequeño $\lambda$ tal que para cada números $a_1,a_2,a_3 \in \left[0, \frac{1}{2} \right]$ y $b_1,b_2,b_3 \in (0, \infty)$ con $\sum\limits_{i=1}^3a_i=\sum\limits_{i=1}^3b_i=1,$ tenemos $$b_1b_2b_3 \le \lambda (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3).$$

Sean $a,b,c$ números complejos distintos con $|a|=|b|=|c|=1.$ Si $|a+b-c|^2+|b+c-a|^2+|c+a-b|^2=12,$ demuestra que los puntos de afijos $a,b,c$ son los vértices de un triángulo equilátero.

Sea $n \in \mathbb{N}, n \ge 3.$ $a)$ Demuestra que existen $z_1,z_2,…,z_n \in \mathbb{C}$ tales que $$\frac{z_1}{z_2}+ \frac{z_2}{z_3}+…+ \frac{z_{n-1}}{z_n}+ \frac{z_n}{z_1}=n \mathrm{i}.$$ $b)$ ¿Cuáles son los valores de $n$ para los cuales existen los números complejos $z_1,z_2,…,z_n,$ del mismo módulo, tales que $$\frac{z_1}{z_2}+ \frac{z_2}{z_3}+…+ \frac{z_{n-1}}{z_n}+ \frac{z_n}{z_1}=n \mathrm{i}?$$

Encuentra las funciones $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ que satisfacen $$2^{-x-y} \le \frac{f(x)f(y)}{(x^2+1)(y^2+1)} \le \frac{f(x+y)}{(x+y)^2+1},$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}.$

Encuentra todos los enteros positivos $p$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $p^n+3^n~|~p^{n+1}+3^{n+1}.$