Sea $d$ un número real tal que $d^2=r^2+s^2$ , donde $r$ y $s$ son números racionales. Demuestra que podemos colorear todos los puntos del plano con coordenadas racionales con dos colores diferentes de tal manera que los puntos con distancia $d$ tengan diferentes colores.

Sean $ABC$ y $XYZ$ dos triángulos. Define \[A_1=BC\cap ZX, A_2=BC\cap XY,\] \[B_1=CA\cap XY, B_2=CA\cap YZ,\] \[C_1=AB\cap YZ, C_2=AB\cap ZX.\] Aquí, la abreviación $g\cap h$ significa el punto de intersección de dos líneas $g$ y $h$ . Demuestra que $\frac{C_1C_2}{AB}=\frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}$ se cumple si y solo si $\frac{A_1C_2}{XZ}=\frac{C_1B_2}{ZY}=\frac{B_1A_2}{YX}$ .

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Existen enteros $a$ y $b$ tales que $P(a) \cdot P(b)=-(a-b)^2$ . Demuestra que $P(a)+P(b)=0$ .

Hay $30$ bolsas y hay $100$ monedas similares en cada bolsa (las monedas en cada bolsa son similares, las monedas de diferentes bolsas pueden ser diferentes). El peso de cada moneda es un número de un dígito en gramos. Tenemos una báscula digital que puede pesar como máximo $999$ gramos en cada pesada. Usando esta báscula, queremos encontrar el peso de las monedas de cada bolsa. (a) Muestra que esta operación es posible con $10$ pesadas, y (b) No es posible con $9$ pesadas.

Demuestra que para cualquier triángulo arbitrario $ABC$ , tenemos \[\sin\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{C}{2}\right) \leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\]

Encuentra todas las funciones $f$ estrictamente crecientes tales que para todo $x\in \mathbb R$ , \[f(1-x)=1-f(f(x)).\]

Considere un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ ( $AC>AB$ ) con su ortocentro $H$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Los puntos $M$ , $P$ son los puntos medios de $BC$ y $AH$ respectivamente. La línea $\overline{AM}$ se encuentra con $\Gamma$ de nuevo en $X$ y el punto $N$ se encuentra en la línea $\overline{BC}$ de modo que $\overline{NX}$ es tangente a $\Gamma$. Los puntos $J$ y $K$ se encuentran en el círculo con diámetro $MP$ tal que $\angle AJP=\angle HNM$ ( $B$ y $J$ se encuentran en el mismo lado de $\overline{AH}$ ) y el círculo $\omega_1$ , que pasa por $K,H$ , y $J$ , y el círculo $\omega_2$ que pasa por $K,M$ , y $N$ , son externamente tangentes entre sí. Demuestre que las tangentes externas comunes de $\omega_1$ y $\omega_2$ se encuentran en la línea $\overline{NH}$.

Se da el cuadrilátero convexo circunscrito $ABCD$ con su incentro $I$ tal que su incírculo es tangente a $\overline{AD},\overline{DC},\overline{CB},$ y $\overline{BA}$ en $K,L,M,$ y $N$. Las líneas $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ se encuentran en $E$ y las líneas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ se encuentran en $F$. Sea $\overline{KM}$ interseca a $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ en $X,Y$, respectivamente. Sea $\overline{LN}$ interseca a $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ en $Z,T$, respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle XFY$ y el círculo con diámetro $EI$ son tangentes si y sólo si la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle TEZ$ y el círculo con diámetro $FI$ son tangentes.

Asuma tres círculos mutuamente externos entre sí con la propiedad de que cada línea que separa a dos de ellos tiene intersección con el interior del tercero. Demuestre que la suma de las distancias por pares entre sus centros es a lo sumo $2\sqrt{2}$ veces la suma de sus radios. (Una línea separa dos círculos, siempre que los círculos no tengan intersección con la línea y estén en diferentes lados de ella.) Nota. Los resultados más débiles con $2\sqrt{2}$ reemplazados por algún otro $c$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de $c>2\sqrt{2}$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con su incentro $I$. Suponga que $N$ es el punto medio del arco $\overarc{BAC}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$, y $P$ es un punto tal que $ABPC$ es un paralelogramo. Sea $Q$ la reflexión de $A$ sobre $N$ y $R$ la proyección de $A$ sobre $\overline{QI}$. Demuestre que la línea $\overline{AI}$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle PQR$