Sean $M,N,P$ los puntos medios de $BC,AC$ y $AB$ del triángulo $\triangle ABC$ respectivamente. $E$ y $F$ son dos puntos en el segmento $\overline{BC}$ de modo que $\angle NEC = \frac{1}{2} \angle AMB$ y $\angle PFB = \frac{1}{2} \angle AMC$. Demuestre que $AE=AF$.

Encuentre todos los números $n \geq 4$ tales que existe un poliedro convexo con exactamente $n$ caras, cuyas caras son triángulos rectángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre cualquier par de caras adyacentes en un poliedro convexo es menor que $180^\circ$.)

Se da el triángulo $ABC$. Un círculo arbitrario con centro $J$, que pasa por $B$ y $C$, interseca a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $X$ un punto tal que el triángulo $FXB$ es similar al triángulo $EJC$ (con el mismo orden) y los puntos $X$ y $C$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AB$. Del mismo modo, sea $Y$ un punto tal que el triángulo $EYC$ es similar al triángulo $FJB$ (con el mismo orden) y los puntos $Y$ y $B$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AC$. Demuestre que la línea $XY$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

En el triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC > AB$ ), el punto $H$ es el ortocentro y el punto $M$ es el punto medio del segmento $BC$. La mediana $AM$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $X$. La línea $CH$ interseca a la bisectriz perpendicular de $BC$ en $E$ y a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $F$. El punto $J$ se encuentra en el círculo $\omega$, que pasa por $X, E,$ y $F$, de modo que $BCHJ$ es un trapecio ( $CB \parallel HJ$ ). Demuestre que $JB$ y $EM$ se encuentran en $\omega$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB = AC$ ) con su circuncentro $O$. El punto $N$ es el punto medio del segmento $BC$ y el punto $M$ es la reflexión del punto $N$ con respecto al lado $AC$. Suponga que $T$ es un punto tal que $ANBT$ es un rectángulo. Demuestre que $\angle OMT = \frac{1}{2} \angle BAC$.

Se da un trapecio $ABCD$ donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$. El punto $N$ está ubicado en el segmento $CD$ tal que $\angle ADN = \frac{1}{2} \angle MNC$ y $\angle BCN = \frac{1}{2} \angle MND$. Demuestre que $N$ es el punto medio del segmento $CD$.

Decimos que dos vértices de un polígono simple son visibles entre sí si son adyacentes, o si el segmento que los une está completamente dentro del polígono (excepto dos puntos finales que se encuentran en el límite). Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que existe un polígono simple con $n$ vértices en el que cada vértice es visible desde exactamente $4$ otros vértices. (Un polígono simple es un polígono sin agujeros que no se interseca a sí mismo.)

Sea $P$ un punto arbitrario en el interior del triángulo $\triangle ABC$. Las líneas $\overline{BP}$ y $\overline{CP}$ intersecan a $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de los segmentos $BF$ y $CE$, respectivamente. Sean las líneas que pasan por $L$ y $K$ paralelas a $\overline{CF}$ y $\overline{BE}$ intersecan a $\overline{BC}$ en $S$ y $T$, respectivamente; además, denotemos por $M$ y $N$ la reflexión de $S$ y $T$ sobre los puntos $L$ y $K$, respectivamente. Demuestre que cuando $P$ se mueve en el interior del triángulo $\triangle ABC$, la línea $\overline{MN}$ pasa por un punto fijo.

De acuerdo con la figura, tres triángulos equiláteros con longitudes de lado $a,b,c$ tienen un vértice común y no tienen ningún otro punto común. Las longitudes $x, y$ y $z$ se definen como en la figura. Demuestre que $3(x+y+z)>2(a+b+c)$.

Se da un paralelogramo $ABCD$ ( $AB \neq BC$ ). Los puntos $E$ y $G$ se eligen en la línea $\overline{CD}$ de manera que $\overline{AC}$ es la bisectriz de los ángulos $\angle EAD$ y $\angle BAG$. La línea $\overline{BC}$ interseca a $\overline{AE}$ y $\overline{AG}$ en $F$ y $H$, respectivamente. Demuestre que la línea $\overline{FG}$ pasa por el punto medio de $HE$.