Asuma que k,n son dos enteros positivos $k\leq n$ cuente el número de permutaciones $\{\ 1,\dots ,n\}\ $ st para cualquier $1\leq i,j\leq k$ y cualquier entero positivo m tenemos $f^m(i)\neq j$ ( $f^m$ significa función iterada,).

Tenemos finitos puntos blancos y finitos puntos negros que para cada 4 puntos hay una línea que los puntos blancos y los puntos negros están en diferentes lados de esta línea. Demuestre que hay una línea que todos los puntos blancos y los puntos negros están en diferentes lados de esta línea.

Suponga que $V= \mathbb{Z}_2^n$ y para un vector $x=(x_1,..x_n)$ en $V$ y permutación $\sigma$ . Tenemos $x_{\sigma}=(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)})$ Suponga que $ n=4k+2,4k+3$ y $f:V \to V$ es inyectiva y si $x$ y $y$ difieren en más de $n/2$ lugares entonces $f(x)$ y $f(y)$ difieren en más de $n/2$ lugares. Demuestre que existe una permutación $\sigma$ y un vector $v$ tal que $f(x)=x_{\sigma}+v$

$A$ es un conjunto convexo compacto en el plano. Demuestre que existe un punto $O \in A$ , tal que para cada línea $XX'$ que pasa por $O$ , donde $X$ y $X'$ son puntos de la frontera de $A$ , entonces \[ \frac12 \leq \frac {OX}{OX'} \leq 2.\].

Decimos $m \circ n$ para naturales m,n $\Longleftrightarrow$ el n-ésimo número de la representación binaria de m es 1 o el m-ésimo número de la representación binaria de n es 1. y decimos $m \bullet n$ si y solo si $m,n$ no tienen la relación $\circ$ Decimos que $A \subset \mathbb{N}$ es dorada $\Longleftrightarrow$ $\forall U,V \subset A$ que son finitos y no están vacíos y $U \cap V = \emptyset$ , Existe $z \in A$ tal que $\forall x \in U,y \in V$ tenemos $z \circ x ,z \bullet y$ Suponga que $\mathbb{P}$ es el conjunto de números primos. Demuestre que si $\mathbb{P}=P_1 \cup ... \cup P_k$ y $P_i \cap P_j = \emptyset$ entonces uno de $P_1,...,P_k$ es dorado.

Se dan círculos $W_{1}$ y $W_{2}$ con radios iguales. Sean $P$ , $Q$ las intersecciones de los círculos. Los puntos $B$ y $C$ están en $W_{1}$ y $W_{2}$ tales que están dentro de $W_{2}$ y $W_{1}$ respectivamente. Los puntos $X$ , $Y$ $\neq$ $P$ están en $W_{1}$ y $W_{2}$ respectivamente, tales que $\angle{BPQ}=\angle{BYQ}$ y $\angle{CPQ}=\angle{CXQ}$ . Denotemos por $S$ la otra intersección de $(YPB)$ y $(XPC)$ . Demostrar que $QS,BC,XY$ son concurrentes.

Llamamos $(P_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una secuencia aritmética con diferencia común $Q(x)$ si $\forall n: P_{n+1} = P_n + Q$ $\newline$ Tenemos una secuencia aritmética con una diferencia común $Q(x)$ y el primer término $P(x)$ tal que $P,Q$ son polinomios mónicos con coeficientes enteros y no comparten una raíz entera. Cada término de la secuencia tiene al menos una raíz entera. Demuestra que: $\newline$ a) $P(x)$ es divisible por $Q(x)$ $\newline$ b) $\text{deg}(\frac{P(x)}{Q(x)}) = 1$

Se da un entero positivo n. Encuentre el $k$ más pequeño tal que podamos llenar una cuadrícula de $3*k$ con enteros no negativos tales que: $\newline$ $i$ ) La suma de los números en cada columna es $n$ . $ii$ ) Cada uno de los números $0,1,\dots,n$ aparece al menos una vez en cada fila.

Tenemos un tablero de $n \times n$. Coloreamos la casilla unitaria $(i,j)$ de negro si $i=j$ , rojo si $i<j$ y verde si $i>j$ . Sea $a_{i,j}$ el color de la casilla unitaria $(i,j)$ . En cada movimiento intercambiamos dos filas y escribimos la $n$ - tupla $(a_{1,1},a_{2,2},\cdots,a_{n,n})$ . ¿Cuántas $n$ - tuplas podemos obtener repitiendo este proceso? (tenga en cuenta que el orden de los números es importante)

Demostrar que para cualquier $2\le n \in \mathbb{N}$ existen enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ tales que $\forall i\neq j: \text{gcd}(a_i,a_j) = 1$ y $\forall i: a_i \ge 1402$ y se cumple la relación dada. $$\left[\frac{a_1}{a_2}\right]+\left[\frac{a_2}{a_3}\right]+\cdots+\left[\frac{a_n}{a_1}\right] = \left[\frac{a_2}{a_1}\right]+\left[\frac{a_3}{a_2}\right]+\cdots+\left[\frac{a_1}{a_n}\right]$$