En un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle{A}= \textdegree{90}$ , se elige un punto $P$. $D \in BC$ tal que $PD \perp BC$ . Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $PD$ con $AB$ y $AC$ respectivamente. Denotemos por $X$ e $Y$ las intersecciones de $(APE)$ y $(APF)$ con $BP$ y $CP$ respectivamente. Demostrar que $CX,BY,PD$ son concurrentes.

En el triángulo $ABC$ , $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ . $O$ es el circuncentro de $\Delta ABC$ . $T,T'$ son los pies de las perpendiculares desde $H$ a $AB,AC$ , respectivamente. Sabemos que $AC=2OT$ . Demostrar que $AB=2OT'$.

Queremos elegir números de teléfono para una ciudad. Los números tienen $10$ dígitos y $0$ no se usa en los números. Nuestro objetivo es: No elegimos algunos números tales que cada $2$ números de teléfono sean diferentes en más de un dígito O cada $2$ números de teléfono sean diferentes en un dígito que sea mayor que $1$ . ¿Cuál es el número máximo de números de teléfono que se pueden elegir? ¿De cuántas maneras podemos elegir los números en esta situación máxima?

$\mathbb{N}$ es el conjunto de enteros positivos y $a\in\mathbb{N}$ . Sabemos que para todo $n\in\mathbb{N}$ , $4(a^n+1)$ es un cubo perfecto. Demostrar que $a=1$.

Sean $a,b,c,$ y $d$ números reales tales que al menos uno de $c$ y $d$ es distinto de cero. Sea $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función definida como $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ . Suponga que para todo $x\in\mathbb{R}$ , tenemos $f(x) \neq x$ . Demuestre que si existe algún número real $a$ para el cual $f^{1387}(a)=a$ , entonces para todo $x$ en el dominio de $f^{1387}$ , tenemos $f^{1387}(x)=x$ . Note que en este problema, \[f^{1387}(x)=\underbrace{f(f(\cdots(f(x)))\cdots)}_{ \text{1387 veces}}.\] Hint . Demuestre que para cada función $g(x)=\frac{sx+t}{ux+v}$ , si la ecuación $g(x)=x$ tiene más de $2$ raíces, entonces $g(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}-\left{\frac{-v}{u}\right}$.

Sea $I_a$ el excentro-$A$ del $\Delta ABC$ y el ex-círculo-$A$ del $\Delta ABC$ tangente a las líneas $AB,AC$ en $B',C'$ , respectivamente. $I_aB,I_aC$ se encuentran con $B'C'$ en $P,Q$ , respectivamente. $M$ es el punto de encuentro de $BQ,CP$ . Demostrar que la longitud de la perpendicular desde $M$ a $BC$ es igual a $r$ donde $r$ es el radio del incírculo de $\Delta ABC$.

De cuántas maneras podemos dibujar $n-3$ diagonales de un $n$-gono con lados y ángulos iguales tales que: $i)$ ninguna de ellas se interseca entre sí en el polígono. $ii)$ cada uno de los triángulos producidos tiene al menos un lado en común con el polígono.

$11$ personas están sentadas alrededor de una mesa circular, ordenadamente (lo que significa que la distancia entre dos personas adyacentes es igual a las demás) y se les dan $11$ cartas con los números del $1$ al $11$. Algunos pueden no tener ninguna carta y otros pueden tener más de $1$ carta. En cada ronda, uno [y sólo uno] puede dar una de sus cartas con el número $ i $ a su persona adyacente si después y antes de la ronda, las ubicaciones de las cartas con los números $ i-1,i,i+1 $ no forman un triángulo acutángulo. (¡La carta con el número $0$ significa la carta con el número $11$ y la carta con el número $12$ significa la carta con el número $1$ !) Supongamos que las cartas se dan a las personas regularmente en el sentido de las agujas del reloj. (Significa que el número de las cartas en el sentido de las agujas del reloj es creciente.) Demuestra que las cartas no se pueden reunir en una sola persona.

Sean $ a_1<a_2<\cdots<a_n $ enteros positivos tales que para cada $1\leq{i,j}\leq{n}$ distintos tenemos que $ a_j-a_i $ divide a $ a_i $ . Demuestra que \[ ia_j\leq{ja_i} \qquad \text{ para } 1\leq{i}<j\leq{n} ]

Tenemos un rectángulo de $ (n+2)\times n $ y lo hemos dividido en $ n(n+2) \ \ 1\times1 $ cuadrados. $ n(n+2) $ soldados están de pie en los puntos de intersección ( $ n+2 $ filas y $ n $ columnas). El comandante grita y cada soldado se queda en su propia ubicación o camina un paso hacia el norte, oeste, este o sur de modo que se quede de pie en un punto de intersección adyacente. Después del grito, vemos que los soldados están de pie en los puntos de intersección de un rectángulo de $ n\times(n+2) $ ( $ n $ filas y $ n+2 $ columnas) de tal manera que la primera y la última fila se eliminan y se añaden 2 columnas a la derecha y a la izquierda (1 a la izquierda y 1 a la derecha). Demuestra que $ n $ es par.