Sea $ ABC $ un triángulo y el punto $ D $ está en el segmento $ BC $ tal que $ AD $ es la bisectriz interior de $ \angle A $ . Extendemos $ AD $ de tal manera que se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ \Delta ABC $ en $ M $ . Dibujamos una línea desde $ D $ de tal manera que se encuentra con las líneas $ MB,MC $ en $ P,Q $ , respectivamente ( $ M $ no está entre $ B,P $ y tampoco está entre $ C,Q $ ) . Demuestra que $ \angle PAQ\geq\angle BAC $ .

En algunos de los cuadrados de $ 1\times1 $ de un jardín cuadrado de $ 50\times50 $ hemos cultivado manzanos, granados y melocotoneros (como máximo un árbol en cada cuadrado). Llamamos a un cuadrado de $ 1\times1 $ una habitación y llamamos a dos habitaciones vecinas si tienen un lado en común. Sabemos que un granado tiene al menos una habitación vecina con manzanos y un melocotonero tiene al menos una habitación vecina con manzanos y una habitación vecina con granados. También sabemos que una habitación vacía (una habitación en la que no hay árboles) tiene al menos una habitación vecina con manzanos, una habitación vecina con granados y una habitación vecina con melocotoneros. Demuestra que el número de habitaciones vacías no es mayor que $ 1000. $

Sea $ p(x) $ un polinomio cuadrático para el cual: \[ |p(x)| \leq 1 \qquad \forall x \in \{-1,0,1\} \] Demuestra que: \[ \ |p(x)|\leq\frac{5}{4} \qquad \forall x \in [-1,1]\]

En un cuadrilátero $ABCD$ sean $A', B', C'$ y $D'$ los circuncentros de los triángulos $BCD, CDA, DAB$ y $ABC$ , respectivamente. Denotemos por $S(X, YZ)$ el plano que pasa por el punto $X$ y es perpendicular a la recta $YZ.$ Demuestre que si $A', B', C'$ y $D'$ no se encuentran en un plano, entonces cuatro planos $S(A, C'D'), S(B, A'D'), S(C, A'B')$ y $S(D, B'C')$ pasan por un punto común.

Sea $n \geq 0$ un entero. Demuestre que \[ \lceil \sqrt n +\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \rceil = \lceil \sqrt{9n+8} \rceil\] Donde $\lceil x \rceil $ es el entero más pequeño que es mayor o igual a $x.$

Demuestre que cada entero positivo es una suma de uno o más números de la forma $2^r3^s,$ donde $r$ y $s$ son enteros no negativos y ningún sumando divide a otro. (Por ejemplo, $23=9+8+6.)$

Sea $k$ un entero positivo. $12k$ personas han participado en una fiesta y cada persona estrecha la mano de $3k+6$ otras personas. Se sabe que el número de personas que estrechan la mano de cada dos personas es un número fijo. Encuentre $k.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\ell$ una recta en el plano del triángulo $ABC.$ Hemos dibujado la reflexión de la recta $\ell$ sobre los lados $AB, BC$ y $AC$ y se intersecan en los puntos $A', B'$ y $C'.$ Demuestre que el incentro del triángulo $A'B'C'$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Demuestre que para cada entero positivo $n \geq 3$ existen dos conjuntos $A =\{ x_1, x_2,\ldots, x_n\}$ y $B =\{ y_1, y_2,\ldots, y_n\}$ para los cuales i) $A \cap B = \varnothing.$ ii) $x_1+ x_2+\cdots+ x_n= y_1+ y_2+\cdots+ y_n.$ ii) $x_1^2+ x_2^2+\cdots+ x_n^2= y_1^2+ y_2^2+\cdots+ y_n^2.$

Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Supón que los puntos $A',B'$ y $C'$ están en los lados $BC,CA$ y $AB$ tales que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C',BC'A'$ y $CA'B'$ pasan por $O$ . Sea $\ell_a$ el eje radical del círculo con centro $B'$ y radio $B'C$ y el círculo con centro $C'$ y radio $C'B$ . Define $\ell_b$ y $\ell_c$ similarmente. Demuestra que las líneas $\ell_a,\ell_b$ y $\ell_c$ forman un triángulo tal que su ortocentro coincide con el ortocentro del triángulo $ABC$ .