Un poliedro regular es un poliedro convexo y todas sus caras son polígonos regulares. Llamamos a un poliedro regular un 'Choombam' si ninguna de sus caras son triángulos. a) pruebe que cada choombam se puede inscribir en una esfera. b) Pruebe que las caras de cada choombam son polígonos de a lo sumo 3 tipos. (es decir, existe un conjunto $\{m,n,q\}$ tal que cada cara de un choombam es un $n$ - gono o un $m$ - gono o un $q$ - gono.) c) Pruebe que solo hay un choombam cuyas caras son pentágonos y hexágonos. (Balón de fútbol) d) Para $n>3$ , un prisma cuyas caras son 2 $n$ - gonos regulares y $n$ cuadrados, es un choombam. Pruebe que excepto estos choombams hay finitamente muchos choombams.

La Fundación Nacional de la Felicidad (NFoH) quiere estimar la felicidad de las personas del país. NFoH seleccionó $n$ personas al azar, y cada mañana preguntó a cada una de ellas si está feliz o no. En dos días distintos cualesquiera, exactamente la mitad de las personas dieron la misma respuesta. Muestre que después de $k$ días, había a lo sumo $n-\frac{n}{k}$ personas cuyas respuestas 'sí' son iguales a sus respuestas 'no'.

Sea $E$ una familia de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ con la propiedad de que para cada $A\subset \{1,2,\ldots,n\}$ existe $B\in F$ tal que $\frac{n-d}2\leq |A \bigtriangleup B| \leq \frac{n+d}2$ . (donde $A \bigtriangleup B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ es la diferencia simétrica). Denotemos por $f(n,d)$ la cardinalidad mínima de tal familia. a) Pruebe que si $n$ es par entonces $f(n,0)\leq n$ . b) Pruebe que si $n-d$ es par entonces $f(n,d)\leq \lceil \frac n{d+1}\rceil$ . c) Pruebe que si $n$ es par entonces $f(n,0) = n$

Sea $D$ una familia de subconjuntos de $s$ elementos de $\{1.\ldots,n\}$ tal que cada $k$ miembros de $D$ tienen intersección no vacía. Denotemos por $D(n,s,k)$ la cardinalidad máxima de tal familia. a) Encuentre $D(n,s,4)$ . b) Encuentre $D(n,s,3)$ .

Sea $C$ una familia (probablemente infinita) de subconjuntos de $\mathbb{N}$ tal que para cada cadena $C_{1}\subset C_{2}\subset \ldots$ de miembros de $C$ , existe un miembro de $C$ que los contiene a todos. Muestre que existe un miembro de $C$ tal que ningún otro miembro de $C$ lo contiene!

Sea $B$ un subconjunto de $\mathbb{Z}_{3}^{n}$ con la propiedad de que para cada dos miembros distintos $(a_{1},\ldots,a_{n})$ y $(b_{1},\ldots,b_{n})$ de $B$ existe $1\leq i\leq n$ tal que $a_{i}\equiv{b_{i}+1}\pmod{3}$ . Pruebe que $|B| \leq 2^{n}$ .

Sea $A$ una familia de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que ningún miembro de $A$ está contenido en otro. El teorema de Sperner establece que $|A|\leq{n\choose{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}$ . Encuentre todas las familias para las cuales se cumple la igualdad.

Se dan el número primo $p$ y un entero positivo $k$. Asuma que $P(x)\in \mathbb Z[X]$ es un polinomio con coeficientes en el conjunto $\{0,1,\cdots,p-1\}$ con el grado más bajo que satisface la siguiente propiedad: Existe una permutación de números $1,2,\cdots,p-1$ alrededor de un círculo tal que para cualquier $k$ números consecutivos $a_1,a_2,\cdots,a_k$ se tiene\n$$\np | P(a_1)+P(a_2)+\cdots+ P(a_k).\n$$\nDemuestre que $P(x)$ es de la forma $ax^d+b$.

Para todos los enteros positivos $n$ Demuestre que se pueden encontrar enteros coprimos por pares $a,b,c>n$ tales que el conjunto de divisores primos de los números $a+b+c$ y $ab+bc+ac$ coinciden.

Dada una secuencia $x_1,x_2,x_3,\cdots$ de enteros positivos, Ali procede con el siguiente algoritmo: En el i-ésimo paso marca todos los números racionales en el intervalo $[0,1]$ que tienen denominador igual a $x_i$. Luego escribe el número $a_i$ igual a la longitud del intervalo más pequeño en $[0,1]$ donde ambos extremos son números marcados. Encuentre todas las secuencias $x_1,x_2,x_3,\cdots$ con $x_5=5$ y tales que para todo $n\in \mathbb N$ tenemos\n$$\na_1+a_2+\cdots+a_n= 2-\dfrac{1}{x_n}.\n$$