Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD, BE, CF$ y ortocentro $H$. La bisectriz perpendicular de $HD$ se encuentra con $EF$ en $P$ y $N$ es el centro del círculo de los nueve puntos. Sea $L$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle PLN=90^{\circ}$ y $A, L$ están en lados distintos de la línea $PN$. Demuestre que $ANDL$ es cíclico.

Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ del $\triangle ABC$. La perpendicular en $A$ a $AM$ se encuentra con $(ABC)$ en $K$. Las alturas $BE,CF$ del triángulo $ABC$ se encuentran con $AK$ en $P, Q$. Demuestre que el eje radical de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PKE, QKF$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$. El círculo con centro $M$ y radio $MA$ se encuentra con $AD, AB$ en $X, Y$. El punto $Z \in XY$ con $Z \neq Y$ satisface $BY=BZ$. Demuestre que $\angle BZD=\angle BCD$.

$m,n$ son números enteros dados tales que $m+n$ es un número impar. Las aristas de un grafo bipartito completo $K_{m,n}$ están etiquetadas por ${-1,1}$ tales que la suma de todas las etiquetas es $0$. Demuestre que existe un árbol de expansión tal que la suma de las etiquetas de sus aristas es igual a $0$.

Considere la diagonal principal y las celdas por encima de ella en una cuadrícula de \( n \times n \). Estas celdas forman lo que llamamos un triángulo tabular de longitud \( n \). Queremos colocar un número real en cada celda de un triángulo tabular de longitud \( n \) tal que para cada celda, la suma de los números en las celdas en la misma fila y la misma columna (incluida ella misma) sea cero. Por ejemplo, la suma de las celdas marcadas con un círculo es cero. Se sabe que el número en la celda superior e izquierda es $1.$ Encuentre todas las formas posibles de llenar las celdas restantes.

$n\geq 4$ es un número entero. Para cualquier permutación $x_1,x_2,\cdots,x_n$ de los números $1,2 \cdots,n$ escribimos el número\n$$\nx_1+2x_2+\cdots+nx_n\n$$\nen la pizarra. Calcule el número total de números distintos escritos en la pizarra.

Se da un número entero $n\geq 2$ y números reales $x_1<x_2<\cdots < x_n$. $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es una función definida como\n$$\nf(x) = \left |\n\dfrac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}\n\right | + \cdots + \left |\n\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}\n\right |.\n$$\nDemuestre que existe $i\in \{1,2,\cdots,n-1\}$ tal que para todo $x\in (x_i,x_{i+1})$ se tiene $f(x)< \sqrt n$.

Se da una función sobreyectiva $g: \mathbb{C} \to \mathbb C$. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{C} \to \mathbb C$ tales que para todo $x,y\in \mathbb C$ tenemos\n$$\n|f(x)+g(y)| = | f(y) + g(x)|.\n$$

Para números reales positivos $a,b,c,d$ tales que\n$$\n\dfrac{a^2}{b+c+d} + \dfrac{b^2}{a+c+d} + \n\dfrac{c^2}{a+b+d} = \dfrac{3d^2}{a+b+c}\n$$\ndemuestre que\n$$\n\dfrac{3}{a}+ \dfrac{3}{b} + \dfrac{3}{c}+ \dfrac{3}{d} \geq \dfrac{16}{a+b+2d} + \dfrac{16}{b+c+2d} +\n\dfrac{16}{a+c+2d}.\n$$

Se da una secuencia de enteros positivos $\{x_k\}_{k\geq 1}$ tal que $x_1=1$ y para todo $n\geq 1$ tenemos\n$$x_{n+1}^2+P(n)=x_n x_{n+2}$$\ndonde $P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros no negativos. Demuestre que $P(x)$ es el polinomio constante.