Suponga que $\mathcal F\subseteq X^{(k)}$ y $|X|=n$ . Sabemos que para cada tres elementos distintos de $\mathcal F$ como $A,B,C$ , a lo sumo uno de $A\cap B$ , $B\cap C$ y $C\cap A$ es $\phi$ . Para $k\le \frac{n}{2}$ demuestre que: a) $|\mathcal F|\le max(1,4-\frac{n}{k})\times \dbinom{n-1}{k-1}$ . b) Encuentre todos los casos de igualdad en a) para $k\le \frac{n}{3}$ .

En un triángulo $ABC$ , $\angle C=45$ . $AD$ es la altura del triángulo. $X$ está en $AD$ tal que $\angle XBC=90-\angle B$ ( $X$ está en el triángulo). $AD$ y $CX$ cortan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si la tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$ corta $AN$ en $P$ , demuestre que $P$ , $B$ y $O$ son colineales.

En un triángulo $ABC$ , $I$ es el incentro. $D$ es la reflexión de $A$ a $I$ . El incírculo es tangente a $BC$ en el punto $E$ . $DE$ corta $IG$ en $P$ ( $G$ es el centroide). $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que a) $AP||DM$ . b) $AP=2DM$ .

En un triángulo $ABC$ , $I$ es el incentro. $BI$ y $CI$ cortan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E$ y $F$ respectivamente. $M$ es el punto medio de $EF$ . $C$ es un círculo con diámetro $EF$ . $IM$ corta $C$ en dos puntos $L$ y $K$ y el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ (que no contiene a $A$ ) en $D$ . Demuestre que $\frac{DL}{IL}=\frac{DK}{IK}$ .

En un cuadrilátero $ABCD$ las diagonales son perpendiculares entre sí. Sea $S$ la intersección de las diagonales. $K$ , $L$ , $M$ y $N$ son reflexiones de $S$ a $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ . $BN$ corta la circunferencia circunscrita de $SKN$ en $E$ y $BM$ corta la circunferencia circunscrita de $SLM$ en $F$ . Demuestre que $EFLK$ es concíclico.

En un cuadrilátero $ABCD$ , $E$ y $F$ están en $BC$ y $AD$ respectivamente tales que el área de los triángulos $AED$ y $BCF$ es $\frac{4}{7}$ del área de $ABCD$ . $R$ es el punto de intersección de las diagonales de $ABCD$ . $\frac{AR}{RC}=\frac{3}{5}$ y $\frac{BR}{RD}=\frac{5}{6}$ . a) ¿En qué proporción corta $EF$ las diagonales? b) Encuentre $\frac{AF}{FD}$ .

En un triángulo $ABC$ , $O$ es el circuncentro e $I$ es el incentro. $X$ es la reflexión de $I$ a $O$ . $A_1$ es el pie de la perpendicular de $X$ a $BC$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

$g$ y $n$ son números naturales tales que $gcd(g^2-g,n)=1$ y $A=\{g^i|i \in \mathbb N\}$ y $B=\{x\equiv (n)|x\in A\}$ (por $x\equiv (n)$ queremos decir un número del conjunto $\{0,1,...,n-1\}$ que es congruente con $x$ módulo $n$ ) . Si para $0\le i\le g-1$ $a_i=|[\frac{ni}{g},\frac{n(i+1)}{g})\cap B]|$ demuestre que $g-1|\sum_{i=0}^{g-1}ia_i$ . (el símbolo $|$ $|$ significa el número de elementos del conjunto)

Demuestre que si $p$ es un número primo tal que $p=12k+\{2,3,5,7,8,11\}$ ( $k \in \mathbb N \cup \{0\}$ ) , existe un campo con $p^2$ elementos.

Suponga que $\sigma_k:\mathbb N \longrightarrow \mathbb R$ es una función tal que $\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k$ . $\rho_k:\mathbb N \longrightarrow \mathbb R$ es una función tal que $\rho_k\ast \sigma_k=\delta$ . Encuentre una fórmula para $\rho_k$ .