Si $p$ es un número primo, ¿cuál es el producto de elementos como $g$ tales que $1\le g\le p^2$ y $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ pero no es una raíz primitiva módulo $p^2$ , módulo $p^2$ ?

$R$ es un anillo tal que $xy=yx$ para cada $x,y\in R$ y si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ . Si para cada Ideal $I\subset R$ existe $x_1,x_2,..,x_n$ en $R$ ( $n$ no es constante) tal que $I=(x_1,x_2,...,x_n)$ , demuestre que cada elemento en $R$ que no es $0$ y no es una unidad, es el producto de elementos irreducibles finitos.

Suponga que $a=3^{100}$ y $b=5454$ . ¿Cuántos $z$ en $[1,3^{99})$ existen tales que para cada $c$ que $gcd(c,3)=1$ , dos ecuaciones $x^z\equiv c$ y $x^b\equiv c$ (mod $a$ ) tienen el mismo número de respuestas?

$x,y,z$ son números reales positivos tales que $xy+yz+zx=1$ . Demuestre que: $3-\sqrt{3}+\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge(x+y+z)^2$

Para cada polinomio $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ definimos su derivada como esta y la mostramos por $p'(x)$ : \[p'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+2a_2x+a_1\] a) Para cada dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ demuestre que:(3 puntos) \[(p(x)q(x))'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\] b) Suponga que $p(x)$ es un polinomio con grado $n$ y $x_1,x_2,...,x_n$ son sus ceros. Demuestre que:(3 puntos) \frac{p'(x)}{p(x)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-x_i}\] c) $p(x)$ es un polinomio mónico con grado $n$ y $z_1,z_2,...,z_n$ son sus ceros tal que: \[|z_1|=1, \quad \forall i\in\{2,..,n\}:|z_i|\le1\] Demuestre que $p'(x)$ tiene al menos un cero en el disco con longitud uno con el centro $z_1$ en el plano complejo. (disco con longitud uno con el centro $z_1$ en el plano complejo: $D=\{z \in \mathbb C: |z-z_1|\le1\}$ )

Demuestre que para cada número natural $n$ existe un polinomio de grado $2n+1$ con coeficientes en $\mathbb{Q}[x]$ tal que tiene exactamente $2$ ceros complejos y es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

$a,b,c$ son números reales positivos. Demuestre la siguiente desigualdad: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\ge \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$

Suponga que el polinomio $p(x)=x^{2010}\pm x^{2009}\pm...\pm x\pm 1$ no tiene una raíz real. ¿Cuál es el número máximo de coeficientes que pueden ser $-1$?

Encuentre todas las funciones completamente multiplicativas $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ tales que para cualquier $a,b\in \mathbb{Z}$ y $b\neq 0$ , existen enteros $q,r$ tales que $$a=bq+r$$ y $$f(r)<f(b)$$

Sea $S$ el conjunto de puntos reticulares cuyas coordenadas son enteros positivos no mayores que $2022$ . es decir, $S=\{(x, y) \mid x, y\in \mathbb{N}, \, 1\leq x, y\leq 2022\}$ . Ponemos una tarjeta con un lado dorado y un lado negro en cada punto de $S$ . Llamamos a un rectángulo 'bueno' si: (i) Todos sus lados son paralelos a los ejes y tienen coordenadas enteras positivas no mayores que $2022$ . (ii) Las tarjetas en sus esquinas superior izquierda e inferior derecha muestran oro, y las tarjetas en sus esquinas superior derecha e inferior izquierda muestran negro. Cada 'movimiento' consiste en elegir un rectángulo bueno y voltear todas las tarjetas simultáneamente en sus cuatro esquinas. Encuentre el número máximo posible de movimientos que se pueden realizar, o demuestre que se pueden realizar infinitos movimientos.