Una sala tiene $2017$ cajas en un círculo. Un conjunto de cajas es amigable si hay al menos dos cajas en el conjunto, y para cada caja en el conjunto, si vamos en el sentido de las agujas del reloj comenzando desde la caja, pasaríamos ya sea $0$ o un número impar de cajas antes de encontrar una nueva caja en el conjunto. $30$ estudiantes entran a la sala y eligen un conjunto de cajas de modo que el conjunto sea amigable, y cada estudiante pone una letra dentro de todas las cajas que él/ella eligió. Si el conjunto de las cajas que tienen $30$ letras adentro no es amigable, demuestra que existen dos estudiantes $A, B$ y cajas $a, b$ que satisfacen la siguiente condición.\n(i). $A$ eligió $a$ pero no $b$ , y $B$ eligió $b$ pero no $a$ .\n(ii). Comenzando desde $a$ y yendo en el sentido de las agujas del reloj hasta $b$ , el número de cajas por las que pasamos, sin incluir $a$ y $b$ , no es un número impar, y ninguno de $A$ o $B$ eligió tales cajas por las que pasamos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $L$ como el punto medio de $AB$ y $M$ como el punto medio de $CD$. Sea $AC \cap BD = E$ , y sean los rayos $AB$ y $DC$ que se intersecan de nuevo en $F$. Sea $LM \cap DE = P$. Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ hasta $EM$. Si el ortocentro de $\triangle FLM$ es $E$ , demuestra la siguiente igualdad.\n$$\frac{EP^2}{EQ} = \frac{1}{2} \left( \frac{BD^2}{DF} - \frac{BC^2}{CF} \right)$$

Para un entero positivo $n \ge 2$ , define una secuencia $a_1, a_2, \cdots ,a_n$ como lo siguiente.\n$$ a_1 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$\n$$a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1}, \text{ } (k=2,3, \cdots n)$$\n(a) Demuestra que $a_1, a_2, \cdots a_n$ son todos enteros.\n(b) Demuestra que hay exactamente un número de entre $a_1, a_2, \cdots a_n$ que no es múltiplo de $2n-1$ y exactamente un número de entre $a_1, a_2, \cdots a_n$ que no es múltiplo de $2n+1$ si y sólo si $2n-1$ y $2n+1$ son todos primos.

Para un entero positivo $n$, denotamos $c_n=2017^n$. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ satisface las siguientes dos condiciones.\n1. Para todos los enteros positivos $m, n$ , $f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325)$ .\n2. Para todo entero positivo $n$ , tenemos $0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017}$ .\nDemuestra que existe una secuencia $a_1, a_2, \cdots $ que satisface lo siguiente. Para todo $n, k$ que satisface $a_k<n$ , tenemos $f(n)^{c_k} < f(c_k)^n$.

Para un entero positivo $n$, $(a_0, a_1, \cdots , a_n)$ es una $n+1$ - tupla con entradas enteras. Para todo $k=0, 1, \cdots , n$, denotamos $b_k$ como el número de $k$ s en $(a_0, a_1, \cdots ,a_n)$. Para todo $k = 0,1, \cdots , n$, denotamos $c_k$ como el número de $k$ s en $(b_0, b_1, \cdots ,b_n)$. Encuentra todos los $(a_0, a_1, \cdots ,a_n)$ que satisfacen $a_0 = c_0$ , $a_1=c_1$ , $\cdots$ , $a_n=c_n$.

Un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $OAB$, llamada $O_1$, y la circunferencia circunscrita de $OAC$, llamada $O_2$, se intersecan con $BC$ de nuevo en $D ( \not=B )$ y $E ( \not= C )$ respectivamente. La bisectriz perpendicular de $BC$ interseca a $AC$ de nuevo en $F$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle ADE$ se encuentra en $AC$ si y sólo si los centros de $O_1, O_2$ y $F$ son colineales.

Demuestre que no existe una función $f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ que satisfaga $f(f(x))-x^2+x+3=0$ para una variable real arbitraria $x$.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $O$. Sea $O_1$ el $A$ - excentro de $ABC$ y $O_2$ el $A$ - excentro de $ABD$. Demuestre que $A, B, O_1, O_2$ son concíclicos, y $O$ pasa por el centro de $(ABO_1O_2)$. Recuerde que para $X, Y, Z, W$ concíclicos, la notación $(XYZW)$ denota el circuncírculo de $XYZW$.

Para un número primo arbitrario $p$, demuestre que existen infinitos múltiplos de $p$ que se pueden expresar de la forma $$\frac{x^2+y+1}{x+y^2+1}$$ Donde $x, y$ son algunos enteros positivos.

Para $n\geq3$ defina $S_n=\{1, 2, ..., n\}$. $A_1, A_{2}, ..., A_{n}$ son subconjuntos dados de $S_n$, cada uno con un número par de elementos. Demuestre que existe un conjunto $\{i_1, i_2, ..., i_t\}$, un subconjunto no vacío de $S_n$ tal que $$A_{i_1} \Delta A_{i_2} \Delta \ldots \Delta A_{i_t}=\emptyset$$ (Para dos conjuntos $A, B$, definimos $\Delta$ como $A \Delta B=(A\cup B)-(A\cap B)$ )