Olimpiada Junior de Corea 2006 Problema 5
Encuentre todos los enteros positivos que pueden escribirse de la siguiente manera $\frac{m^2 + 20mn + n^2}{m^3 + n^3}$ Además, $m,n$ son enteros positivos relativamente primos.
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Olimpiada Junior de Corea 2006 Problema 4
En el plano coordenado, defina $M = \{(a, b),a,b \in Z\}$ . Una transformación $S$ , que se define en $M$ , envía $(a,b)$ a $(a + b, b)$ . La transformación $T$ , también definida en $M$ , envía $(a, b)$ a $(-b, a)$ . Demuestre que para todo $(a, b) \in M$ , podemos usar $S,T$ definidamente para mapearlo a $(g,0)$ .
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Olimpiada Junior de Corea 2006 Problema 3
En un círculo $O$ , hay seis puntos, $A,B,C,D,E, F$ en sentido antihorario. $BD \perp CF$ , y $CF,BE,AD$ son concurrentes. Sea la perpendicular de $B$ a $AC$ como $M$ , y la perpendicular de $D$ a $CE$ como $N$ . Demuestre que $AE // MN$ .
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Olimpiada Junior de Corea 2006 Problema 2
Encuentre todos los enteros positivos que pueden escribirse de la siguiente manera $\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ . Además, $a,b, c$ son enteros positivos que son primos relativos por pares.
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Olimpiada Junior de Corea 2006 Problema 1
Sean $a_1, a_2,...,a_{2006}$ una permutación de $1,2,...,2006$ . Demuestre que $\prod_{i = 1}^{2006} (a_{i}^2-i) $ es un múltiplo de $3$ . ( $0$ se cuenta como un múltiplo de $3$ )
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Olimpiada Universitaria USCM de Corea 2016 Problema 8
Para una matriz $A$ de $n\times n$ con valores complejos, demuestre que las siguientes dos condiciones son equivalentes. (i) Existe una matriz $B$ de $n\times n$ con valores complejos tal que $AB-BA=A$ . (ii) Existe un entero positivo $k$ tal que $A^k = O$ . ( $O$ es la matriz cero.)
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Olimpiada Universitaria USCM de Corea 2016 Problema 7
$M$ es un real positivo y $f:[0,\infty)\to[0,M]$ es una función continua tal que $$\int_0^\infty (1+x)f(x) dx<\infty$$ Entonces, pruebe la siguiente desigualdad. $$\left(\int_0^\infty f(x) dx \right)^2 \leq 4M \int_0^\infty x f(x) dx$$
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Olimpiada Universitaria USCM de Corea 2016 Problema 6
$A$ y $B$ son matrices de $2\times 2$ con valores reales que satisfacen $$\det A = \det B = 1,\quad \text{tr}(A)>2,\quad \text{tr}(B)>2,\quad \text{tr}(ABA^{-1}B^{-1}) = 2$$ Pruebe que $A$ y $B$ tienen un eigenvector común.
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Olimpiada Universitaria USCM de Corea 2016 Problema 5
Para $f(x) = \cos\left(\frac{3\sqrt{3}\pi}{8}(x-x^3 ) \right)$ , encuentre el valor de $$\lim_{t\to\infty} \left( \int_0^1 f(x)^t dx \right)^{\frac{1}{t}} + \lim_{t\to-\infty} \left( \int_0^1 f(x)^t dx \right)^{\frac{1}{t}} $$
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Olimpiada Universitaria USCM de Corea 2016 Problema 4
Suponga una función continua $f:[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]\to[-1,1]$ y diferenciable en $(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ . Entonces, existe un punto $x_0\in (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ tal que $$|f'(x_0)|\leq 1+f(x_0)^2$$
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