Dados enteros positivos $m,n$ y una matriz $A$ de $m\times n$ con entradas reales. (1) Demuestre que las matrices $X = I_m + AA^T$ y $Y = I_n + A^T A$ son invertibles. ( $I_l$ es la matriz unidad de $l\times l$.) (2) Evalúe el valor de $\text{tr}(X^{-1}) - \text{tr}(Y^{-1})$ .

Suponga que $\{a_n\}$ es una secuencia decreciente de números reales y $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ . Si $S_{2^k} - 2^k a_{2^k} \leq 1$ para cualquier entero positivo $k$ , demuestre que $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leq 1$$ (Aquí, $S_m = \sum_{n=1}^m a_n$ es una suma parcial de $\{a_n\}$ . )

Encuentra el siguiente límite. \[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \left(\sum_{k=2}^{2^n} k^{1/n^2} \right)\]

Demuestra que existe un entero positivo $K$ que satisface la siguiente condición. Condición: Para cualquier primo $p > K$, el número de enteros positivos $a \le p$ que $p^2 \mid a^{p-1} - 1$ es menor que $\frac{p}{2^{2024}}$

Se da un entero positivo $n (\ge 4)$. Sean $a_1, a_2, \cdots ,a_n$ $n$ enteros positivos distintos por pares donde $a_i \le n$ para todo $1 \le i \le n$. Determine el valor máximo de $$\sum_{i=1}^{n}{|a_i - a_{i+1} + a_{i+2} - a_{i+3}|}$$ donde todos los índices son módulo $n$

Para un triángulo $ABC$, $O$ es la circunferencia circunscrita y $D$ es un punto en el rayo $BA$. $E$ y $F$ son puntos en $O$ de manera que $DE$ y $DF$ son tangentes a $O$ y $EF$ corta a $AC$ en $T(\neq C)$. $P(\neq B,C)$ es un punto en el arco $BC$ que no contiene a $A$, y $DP$ corta a $O$ en $Q (\neq P)$. Sean $BQ$ y $DT$ se encuentran en $X (\neq Q)$, y $PT$ corta a $O$ en $Y (\neq P)$. Demuestra que $C,X,Y$ son colineales.

Encuentra el número real más pequeño $p(\leq 1)$ que satisface la siguiente condición. (Condición) Para los números reales $x_1, x_2, \dots, x_{2024}, y_1, y_2, \dots, y_{2024}$, si $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_{2024} \leq 1$, $0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \dots \leq y_{2024} \leq 1$, $\displaystyle \sum_{i=1}^{2024}x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^{2024}y_i = 2024p$, entonces la desigualdad $\displaystyle \sum_{i=1}^{2024}x_i(y_{2025-i}-y_{2024-i}) \geq 1 - p$ se cumple.

Para un entero positivo $n(\geq 2)$, hay $2n$ caramelos. Alicia distribuye $2n$ caramelos en $4n$ cajas $B_1, B_2, \dots, B_{4n}$. Bob revisa el número de caramelos que Alicia pone en cada caja. Después de esto, Bob elige exactamente $2n$ cajas $B_{k_1}, B_{k_2}, \dots, B_{k_{2n}}$ de las $4n$ cajas que satisfacen la siguiente condición, y toma todos los caramelos. (Condición) $k_i - k_{i - 1}$ es $1$ o $3$ para cada $i = 1, 2, \dots, 2n$, y $k_{2n} = 4n$. ($k_0 = 0$) Alicia toma todos los caramelos en las $2n$ cajas que Bob no eligió. Si Alicia y Bob usan su mejor estrategia para tomar tantos caramelos como sea posible, ¿cuántos caramelos puede tomar Alicia?

Sean $a, b, c, d$ enteros positivos impares y coprimos por pares. Para un entero positivo $n$, sea $$f(n) = \left[\frac{n}{a} \right]+\left[\frac{n}{b}\right]+\left[\frac{n}{c}\right]+\left[\frac{n}{d}\right]$$ Demuestra que $$\sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{f(n)}=1$$

Un triángulo equilátero rojo $T$ con lado de longitud $1$ se dibuja en un plano. Para un real positivo $c$ , colocamos tres papeles azules en forma de triángulo equilátero con lado de longitud $c$ en un plano para cubrir $T$ por completo. Encuentra el valor mínimo de $c$ . Como se muestra en la imagen, no importa si los papeles azules se superponen entre sí o sobresalen de $T$ . No se permite doblar ni rasgar el papel.