Sean $\alpha,\beta ,\gamma$ los ángulos de $\triangle ABC$ . a) Muestra que $cos^2\alpha +cos^2\beta +cos^2 \gamma =1-2cos\alpha cos\beta cos\gamma$ . b) Dado que $cos\alpha : cos\beta : cos\gamma = 39 : 33 : 25$ , encuentra $sin\alpha : sin\beta : sin\gamma$ .

Dado un conjunto $S \subset N$ y un entero positivo n, sea $S\oplus \{n\} = \{s+n / s \in S\}$ . La secuencia $S_k$ de conjuntos se define inductivamente como sigue: $S_1 = \{1\}$ , $S_k=(S_{k-1} \oplus \{k\}) \cup \{2k-1\}$ para $k = 2,3,4, ...$ (a) Determina $N - \cup _{k=1}^{\infty} S_k$ . (b) Encuentra todos los $n$ para los cuales $1994 \in S_n$ .

Considera la ecuación $ y^2-k=x^3$ , donde $ k$ es un entero. Demuestra que la ecuación no puede tener cinco soluciones enteras de la forma $ (x_1,y_1),(x_2,y_1-1),(x_3,y_1-2),(x_4,y_1-3),(x_5,y_1-4)$ . También muestra que si tiene los primeros cuatro de estos pares como soluciones, entonces $ 63|k-17$ .

En un triángulo $ABC$ , $I$ y $O$ son el incentro y el circuncentro respectivamente, $A',B',C'$ los excentros, y $O'$ el circuncentro de $\triangle A'B'C'$ . Si $R$ y $R'$ son los circunradios de los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ , respectivamente, demuestra que: (i) $R'= 2R $ (ii) $IO' = 2IO$

Sean $ \alpha,\beta,\gamma$ los ángulos de un triángulo. Demuestra que $csc^2\frac{\alpha}{2}+csc^2\frac{\beta}{2}+csc^2\frac{\gamma}{2} \ge 12$ y encuentra las condiciones para la igualdad.

Sea $ S$ el conjunto de enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $ f,g,h: S\rightarrow S$ tales que $ f(m+n)=g(m)+h(n),$ para todo $ m,n\in S$ , y $ g(1)=h(1)=1$ .

Se dice que un entero positivo $N$ es $n-$ bueno si (i) $N$ tiene al menos $n$ divisores primos distintos, y (ii) existen divisores positivos distintos $1, x_{2}, . . . , x_{n}$ cuya suma es $N$ . Demuestra que existe un número $n-$ bueno para cada $n\geq 6$ .

En un hexágono convexo $ABCDEF$ los triángulos $ABC , CDE , EFA$ son similares. Encuentra las condiciones sobre estos triángulos bajo las cuales el triángulo $ACE$ es equilátero si y sólo si lo es $BDF.$

Dados tres números reales distintos $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ , define $b_{j}= (1+\frac{a_{j}a_{i}}{a_{j}-a_{i}})(1+\frac{a_{j}a_{k}}{a_{j}-a_{k}})$ , donde $\{i, j, k\}= \{1, 2, 3\}$ . Demuestra que $1+|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}| \leq (1+|a_{1}|)(1+|a_{2}|)(1+|a_{3}|)$ y encuentra los casos de igualdad.

Tres escuelas $A, B$ y $C$ , cada una con cinco jugadores denotados $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ respectivamente, participan en un torneo de ajedrez. El torneo se lleva a cabo siguiendo las reglas: (i) Los jugadores de cada escuela tienen partidas en orden con respecto a los índices, y los jugadores derrotados son eliminados; la primera partida es entre $a_{1}$ y $b_{1}$ . (ii) Si $y_{j}\in Y$ derrota a $x_{i}\in X$ , su próximo oponente debería ser de la escuela restante si no todos sus jugadores han sido eliminados; de lo contrario, su próximo oponente es $x_{i+1}$ . El torneo termina cuando dos escuelas son completamente eliminadas. (iii) Cuando $x_{i}$ gana una partida, su escuela gana $10^{i-1}$ puntos. Al final del torneo, las escuelas $A, B, C$ obtuvieron $P_{A}, P_{B}, P_{C}$ respectivamente. Encuentra el resto del número de posibles triples $(P_{A}, P_{B}, P_{C})$ al dividirlo por $8.$