En una barra de metal larga, se incrustan $1000$ canicas rojas en la barra de modo que la barra se divide equitativamente en $1001$ partes por ellas. $1001$ canicas azules también se incrustan en la barra, de modo que la barra se divide equitativamente en $1002$ partes por ellas. Si cortas la barra de metal equitativamente en $2003$ partes más pequeñas, ¿cuántas de las partes más pequeñas contendrían al menos una canica incrustada?

$I$ es el incentro de $ABC$. $D$ es la intersección de $AI$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$, no $A$. Y $P$ es el punto medio de $BI$. Si $CI=2AI$, demuestra que $AB=PD$.

Para un entero positivo dado $a$, encuentra cada $(x_1, x_2, …, x_{2002})$ que satisfaga lo siguiente: (1) $x_1 \geq x_2 \geq … \geq x_{2002} \geq 0$ (2) $0< x_1+x_2+…+x_{2003}<a+1$ (3) $ x^2_1+x^2_2+…+x^2_{2003}+9=a^2$

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $$x^3+2y^3+4z^3+8xyz=0$$

Para dos enteros no negativos $i, j$, crea un nuevo entero $i \# j$ definido de la siguiente manera: Expresa los dos números en base $2$ y compara cada dígito. Si su $k$-ésimo dígito es el mismo, entonces el $k$-ésimo dígito de $i \# j$ es $0$. Si su $k$-ésimo dígito es diferente, entonces el $k$-ésimo dígito de $i \# j$ es $1$ (por supuesto, estamos hablando en base $2$). Por ejemplo, $3 \# 5=6$. Demuestra que para un entero positivo arbitrario $n$, el número se puede expresar con operaciones finitas de $\#$ s e enteros de la forma $2^k-1$.

Para el cuadrado $ABCD$, $M$ es el punto medio del segmento $CD$ y $E$ es un punto en $AD$ que satisface $\angle BEM = \angle MED$. $P$ es la intersección de $AM$, $BE$. Encuentra el valor de $\frac{PE}{BP}$

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $p^{2002}+2003^{p-1}-1$ es un múltiplo de $2003p$.

Encuentra el valor de $x^2+y^2+z^2$ donde $x, y, z$ son distintos de cero y satisfacen lo siguiente: (1) $x+y+z=3$ (2) $x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+y^2(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+z^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=-3$

Un grupo de $6$ estudiantes decidió formar grupos de estudio y grupos de actividades de servicio de acuerdo con el siguiente principio: Cada grupo debe tener exactamente $3$ miembros. Para cualquier par de estudiantes, hay el mismo número de grupos de estudio y grupos de actividades de servicio de los que ambos estudiantes son miembros. Suponiendo que hay al menos un grupo y que no hay tres estudiantes que pertenezcan al mismo grupo de estudio y grupo de actividades de servicio, demuestra que el número mínimo de grupos es $8$.

Si los reales positivos $ x_1,x_2,\cdots,x_n $ satisfacen $\sum_{i=1}^{n}x_i=1.$ Demuestra que $$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\sum_{j=1}^{i}x_j}<\sqrt{\frac{2}{3}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}$$