Para dos números primos diferentes $p, q$ , define $S_{p,q} = \{p,q,pq\}$ . Si dos elementos en $S_{p,q}$ son números de la forma $x^2 + 2005y^2, (x, y \in Z)$ , demuestra que los tres elementos en $S_{p,q}$ están en tal forma.

En $\triangle ABC$ , sea la bisectriz de $\angle BAC$ que golpea la circunferencia circunscrita en $M$ . Sea $P$ la intersección de $CM$ y $AB$ . Denotemos por $(V,WX,YZ)$ la intersección de la línea que pasa por $V$ perpendicular a $WX$ con la línea $YZ$ . Demuestra que los puntos $(P,AM,AC), (P,AC,AM), (P,BC,MB)$ son colineales. Replanteamiento En el triángulo isósceles $APX$ con $AP=AX$ , selecciona un punto $M$ en la altitud. $PM$ intersecta a $AX$ en $C$ . La circunferencia circunscrita de $ACM$ intersecta a $AP$ en $B$ . Una línea que pasa por $P$ perpendicular a $BC$ intersecta a $MB$ en $Z$ . Muestra que $XZ$ es perpendicular a $AP$.

$11$ estudiantes hacen un examen. Para cada dos preguntas en un examen, hay al menos $6$ estudiantes que resolvieron exactamente una de esas dos preguntas. Demuestra que no hay más de $12$ preguntas en este examen. No es necesario mostrar el caso de igualdad.

Para un entero positivo $K$ , define una secuencia, $\{a_n\}$ , de la siguiente manera: $a_1 = K$ y $a_{n+1} = a_n -1$ si $a_n$ es par, $a_{n+1} =\frac{a_n - 1}{2}$ si $a_n$ es impar, para todo $n \ge 1$ . Encuentra el valor más pequeño de $K$ , que hace que $a_{2005}$ sea el primer término igual a $0$.

Para el triángulo $ABC, P$ y $Q$ satisfacen $\angle BPA + \angle AQC = 90^o$ . Se proporciona que los vértices de los triángulos $BAP$ y $ACQ$ están ordenados en sentido antihorario (o horario). Sea $N$ la intersección de las circunferencias circunscritas de los dos triángulos ( $A \ne N$ , sin embargo, si $A$ es la única intersección $A = N$ ) , y sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ . Demuestra que la longitud de $MN$ no depende de $P$ y $Q$.

Encuentra una fracción irreducible con denominador no mayor que 2005, que sea lo más cercana posible a $\frac{9}{25}$ pero que no sea $\frac{9}{25}$.

$A, B, C$, y $D$ son los cuatro puntos diferentes en el círculo $O$ en el orden. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$, que es tangente a $BC$, sea $O_1$. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ACD$, que es tangente a $CD$, sea $O_2$. (1) Demuestra que el circuncentro del triángulo $ABO_1$ está en el círculo $O$. (2) Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $CO_1O_2$ siempre pasa por un punto fijo en el círculo $O$, cuando $C$ se mueve a lo largo del arco $BD$.

Sean $k$ y $N$ números reales positivos que satisfacen $k\leq N$. Para $1\leq i \leq k$, existen subconjuntos $A_i$ de $\{1,2,3,\ldots,N\}$ que satisfacen la siguiente propiedad. Para un subconjunto arbitrario de $\{ i_1, i_2, \ldots , i_s \} \subset \{ 1, 2, 3, \ldots, k \} $, $A_{i_1} \triangle A_{i_2} \triangle ... \triangle A_{i_s}$ no es un conjunto vacío. Demuestra que existe un subconjunto $\{ j_1, j_2, .. ,j_t \} \subset \{ 1, 2, ... ,k \} $ que satisface $n(A_{j_1} \triangle A_{j_2} \triangle \cdots \triangle A_{j_t}) \geq k$ . ( $A \triangle B=A \cup B-A \cap B$ )

Números reales positivos, $a_1, .. ,a_6$ satisfacen $a_1^2+..+a_6^2=2$. Piensa en seis cuadrados que tienen una longitud de lado de $a_i$ ( $i=1,2,\ldots,6$ ). Demuestra que los cuadrados se pueden empaquetar dentro de un cuadrado de longitud $2$, sin superponerse.

$x$ e $y$ son positivos y relativamente primos y $z$ es un entero. Satisfacen $(5z-4x)(5z-4y)=25xy$. Demuestra que al menos uno de $10z+x+y$ o el cociente de este número dividido por $3$ es un número cuadrado (i.e., prueba que $10z+x+y$ o la parte entera de $\frac{10z+x+y}{3}$ es un número cuadrado).